Cho \(a,\text{ }b,\text{ }c,\text{ }d\ge2\). Chứng minh rằng \(abcd+48\ge8\left(a+b+c+d\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 4 2021
Do \(abc=1\), nếu viết BĐT về dạng:
\(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Có lẽ bạn sẽ nhận ra ngay. Một bài toán vô cùng quen thuộc.
Chắc với bài toán này thì bạn ko cần lời giải nữa, nó có ở khắp mọi nơi.
31 tháng 10 2016
Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2\left(1\right)\)
\(\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\left(đpcm\right)\)
31 tháng 10 2016
đặt a/b = c/d = k (k thuộc N)
=> a = bk
c = dk
thay a và c vào 2 phân số cần so sánh thì = nhau
NT
1
26 tháng 12 2016
Dễ ợt
Ta có abcd= a.1000 + b.100 + c.10 + d
Vậy abcd - a -b -c -d = a.(1000-1) + b.(100-1) + c.(10-1) + d -d = a.999 + b.99 + c.9
Vì các số hạng trong tổng chia hết cho 3 nên tổng chia hết cho 3
Vậy abcd - a - b - c - d chia hết cho 3
1 tháng 10 2016
\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+bc+ac\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(ab+bc+ac\right)\right]\)\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ac\right)^2\)
AM
2 tháng 7 2015
Từ \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}\cdot\frac{a}{c}=\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{d}=\frac{b}{d}\cdot\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{ab}{cd}\)
a)Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{ab}{cd}=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\)
b)\(\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{ab}{cd}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{ab}{cd}=\frac{2ab}{2cd}\)
Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{ab}{cd}=\frac{2ab}{2cd}=\frac{a^2+b^2-2ab}{c^2+d^2-2cd}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)
2 tháng 7 2015
a) Ta có:\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
=> \(\left(\frac{a}{c}\right)^2=\left(\frac{b}{d}\right)^2\) => \(\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}\)
Áp dụng t/c dãy tỉ số = nhau được: \(\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\)
Mặt khác, \(\frac{a^2}{c^2}=\frac{a}{c}.\frac{a}{c}=\frac{a}{c}.\frac{b}{d}=\frac{ab}{cd}\)
Vậy \(\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\frac{ab}{cd}\left(=\left(\frac{a}{c}\right)^2\right)\)
b) \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)(câu a) => \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\) (t/c dãy tỉ số = nhau)
=> \(\left(\frac{a}{c}\right)^2=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)
Mặt khác, \(\left(\frac{a}{c}\right)^2=\frac{ab}{cd}\)(câu a) nên \(\frac{ab}{cd}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\left(\frac{a}{c}\right)^2\)