Question

[Đỗ Mạnh Đức Đạt]

a,Chứng tỏ rằng: M=75.(\(4^{2107}\)+\(4^{2016}\)+...+\(4^2\)+4+1)+25 chia hết cho \(10^2\)

b,cho tích a.b là số chính phương và (a,b)=1.Chứng minh rằng a và b đều là số chính phương

Answer 1

[Mặc Chinh Vũ]

\(a)M=75.\left(4^{2017}+4^{2016}+...+4^2+4+1\right)+25\)

\(\Rightarrow M=\left(25.3\right).\left(4^{2017}+4^{2016}+...+4^2+4+1\right)+25\)

\(\Rightarrow M=25.\left(4-1\right).\left(4^{2017}+4^{2016}+...+4^2+4+1\right)\)

\(\Rightarrow M=25.\left[4\left(4^{2017}+4^{2016}+...+4^2+4+1\right)-\left(4^{2017}+4^{2016}+...+4^4+4+1\right)\right]+25\)

\(\Rightarrow M=25.\left[\left(4^{2018}+4^{2017}+...+4^2+4+1\right)-\left(4^{2017}+4^{2016}+...+4^2+4+1\right)\right]+25\)

\(\Rightarrow M=25.\left(4^{2018}-1\right)+25\)

\(\Rightarrow M=25.4^{2018}-25+25\)

\(\Rightarrow M=25.4^{2018}=\left(25.4\right).4^{2017}=100.4^{2017}=10^2.4^{2017}⋮10^2\)

\(\text{Vậy }M⋮10^2\left(đpcm\right)\)

\(b)\text{ Đặt }ab=c^2\text{ và }\left(a,\text{ }c\right)=d\left(d\in N^{\circledast}\right)\)

\(-\text{Ta có: }\left\{{}\begin{matrix}a⋮d\\c⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=md\\c=nd\end{matrix}\right.\text{ với }\left(m;n\right)=1\)

\(-\text{Thay vào }ab=c^2\text{, ta được }mdb=\left(nd\right)^2=n^2.d^2\)

\(\Rightarrow mb=n^2.d\)

\(\Rightarrow b⋮n^2,\text{ vì }\left(a;b\right)=1=\left(b;d\right)\)

\(-\text{Mà: }n^2⋮b\text{ nên suy ra }n^2=b\)

\(-\text{Thay vào }ab=c^2,\text{ ta được }a=d^2\)

\(\RightarrowĐpcm\)