Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\frac{a^4}{c}+\frac{b^4}{d}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{c+d}=\frac{1}{c+d}\)
Dấu = xảy ra khi \(\frac{a^2}{c}=\frac{b^2}{d}\)
Do đó: \(VT=\frac{a^2}{c}+\frac{b}{d^2}=\frac{d^2}{b}+\frac{b}{d^2}\ge2\sqrt{\frac{d^2}{b}.\frac{b}{d^2}}=2\)
câu 1.Ta có:
\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{x+3y}{16}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+3y}.\frac{x+3y}{16}}=\frac{x}{2}\)
\(\frac{y^2}{y+3x}+\frac{y+3x}{16}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{y+3x}.\frac{y+3x}{16}}=\frac{y}{2}\)
\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{y^2}{y+3x}+\frac{x+y+3x+3y}{16}\ge\frac{x+y}{2}\)
\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{y^2}{y+3x}+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{2}\)
\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{y^2}{y+3x}\ge\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)
Câu 2:
điều kiện \(a^2+b^2+c^2+d^2=4\)(đúng ko)
Ta có:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{a^2+1}.\frac{a^2+1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{b^2+1}.\frac{b^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{b^2+1}.\frac{b^2+1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{c^2+1}.\frac{c^2+1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{d^2+1}+\frac{d^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{d^2+1}.\frac{d^2+1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}+\frac{a^2+b^2+c^2+d^2+4}{4}\ge4\)
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}\ge4-\frac{8}{4}=2\left(đpcm\right)\)
Áp dụng bđt Cosi ta có: \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2;\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2;\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge2\)\(;\frac{d^2}{d+a}+\frac{d+a}{4}\ge2\)
Cộng theo vế và a+b+c+d=1 ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2}{a+b}=\frac{a+b}{4};\frac{b^2}{b+c}=\frac{b+c}{4};\frac{c^2}{c+d}=\frac{c+d}{4};\frac{d^2}{d+a}=\frac{d+a}{4}\\\\a=b=c=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
bài 1b
+)Nếu n chẵn ,ta có \(n^4⋮2,4^n⋮2\Rightarrow n^4+4^n⋮2\)
mà \(n^4+4^n>2\)Do đó \(n^4+4^n\)là hợp số
+)nếu n lẻ đặt \(n=2k+1\left(k\in N\right)\)
Ta có \(n^4+4^n=n^4+4^{2k}.4=\left(n^2+2.4k\right)^2-2n^2.2.4^k\)
\(=\left(n^2+2^{2k+1}\right)^2-\left(2.n.2^k\right)^2\)
\(=\left(n^2+2^{2k+1}+2n.2^k\right)\left(n^2+2^{2k+1}-2n.2^k\right)\)
\(=\left(\left(n+2^k\right)^2+2^{2k}\right)\left(\left(n-2^k\right)^2+2^{2k}\right)\)
là hợp số,vì mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2
(nhớ k nhé)
Bài 2a)
Nhân 2 vế với 2 ta có
\(a^4+b^4\ge2ab\left(a^2+b^2\right)-2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2\ge2ab\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Dẫu = xảy ra khi \(a=b\)
4a) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\times\frac{y}{x}}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức, ta được: \(VT=\frac{a^4}{a^2+a^2b-a^3}+\frac{b^4}{b^2+b^2c-b^3}+\frac{c^4}{c^2+c^2a-c^3}\)\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)}\) \(=\frac{1}{1+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)
Ta cần chứng minh \(\frac{1}{1+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)}\ge1\)hay \(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a\)
Đây là bất đẳng thức quen thuộc có nhiều cách chứng minh:
** Cách 1: Áp dụng AM - GM, ta được: \(a^3+a^3+b^3\ge3a^2b\); \(b^3+b^3+c^3\ge3b^2c\); \(c^3+c^3+a^3\ge3c^2a\)
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên
** Cách 2: Giả sử \(a\le b\le c\)
Có: \(a^3+b^3+c^3=a^2b+b^2c+c^2a+\left(c^2-a^2\right)\left(b-a\right)+\left(c^2-b^2\right)\left(c-b\right)\ge a^2b+b^2c+c^2a\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Or the following SOS: 
* Hoặc mạnh hơn với a,b,c thực thỏa mãn \(a+b\ge0,b+c\ge0,c+a\ge0\)
\(a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2c-c^2a\)
\(=\frac{\left(a^2+b^2-2c^2\right)^2+3\left(a^2-b^2\right)^2+\Sigma_{cyc}4\left(a+b\right)\left(c+a\right)\left(a-b\right)^2}{8\left(a+b+c\right)}\ge0\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \(\frac{1}{a^2+1}=\frac{\left(a^2+1\right)-a^2}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}\ge1-\frac{a^2}{2a}=1-\frac{a}{2}\)
Hoàn toàn tương tự ta được
\(\frac{1}{b^2+1}\ge1-\frac{b}{2};\frac{1}{c^2+1}\ge1-\frac{c}{2};\frac{1}{d^2+1}\ge1-\frac{d}{2}\)
Cộng theo vế của từng BĐT trên ta được
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1\ge2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=1
Nguồn: Nguyễn Thị Thúy
Ta có: \(\frac{1}{a^2+1}=\frac{a^2+1-a^2}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}\)
Tương tự: \(\frac{1}{b^2+1}==1-\frac{b^2}{b^2+1}\)
\(\frac{1}{c^2+1}==1-\frac{c^2}{c^2+1}\)
\(\frac{1}{d^2+1}==1-\frac{d^2}{d^2+1}\)
Đặt \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}=P\)
\(\Rightarrow P=4-\frac{a^2}{a^2+1}-\frac{b^2}{b^2+1}-\frac{c^2}{c^2+1}-\frac{d^2}{d^2+1}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(P\ge4-\frac{a^2}{2a}-\frac{b^2}{2b}-\frac{c^2}{2c}-\frac{d^2}{2d}=4-\frac{a+b+c+d}{2}=4-\frac{4}{2}=4-2=2\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a^2=1;b^2=1;c^2=1;d^2=1\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=d=1\)
Cảm ơn bạn, giúp minh luôn câu 2 được k