Cho a,b,c>0 sao cho ab+bc+ac=3. CMR
1/(a^2+b^2+2016)+1/(b^2+c^2+2016)+1/(c^2+a^2+2016) >= 3/2018
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
2
F
1 tháng 7 2017
a2+b2+c2=ab+bc+ca
<=>2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca
<=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2)=0
<=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
<=>a=b=c
mà a+b+c=3<=>a=b=c=1
=>P=0
TC
1
21 tháng 7 2016
Xét : \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-bc-ac\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)
Suy ra : \(\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac}=\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac}=a+b+c=2016\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
ST
1
T
8 tháng 7 2019
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\) suy ra x, y, z >0 và x + y + z = 2016
BĐT \(\Leftrightarrow\frac{\frac{1}{yz}}{\frac{1}{x^2}\left(\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)}+\frac{\frac{1}{zx}}{\frac{1}{y^2}\left(\frac{3}{z}+\frac{1}{x}\right)}+\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z^2}\left(\frac{3}{x}+\frac{1}{y}\right)}\ge504\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{3z+y}+\frac{y^2}{3x+z}+\frac{z^2}{3y+x}\ge504\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel suy ra:
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{4}=\frac{2016}{4}=504\) (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 672 hay \(a=b=c=\frac{1}{672}\)