Question

[Ha Tran Manh]

Cho 3 đường tròn (C₁);(C₂);(C₃) đôi một tiếp xúc với nhau; trong đó (C₁)chứa (C₂) và (C₃). Đường tròn (C1) tiếp xúc với (C₂);(C₃) lần lượt tại A và B còn (C₂) tiếp xúc với (C3) tại I. Tiếp tuyến chung của (C₂);(C₃) tại I cắt (C₁) tại E và F. Gọi D là trung điểm của EF, nối EA, EB cắt (C₂);(C₃) theo thứ tự tại M và N. CMR:

a) Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD

b)Đường thẳng MN là tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn (C₂) và (C₃)

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Gọi Ax là tia tiếp tuyến chung của (C₁) và (C₂), AF cắt (C₂) tại G khác A.

Ta có: ^GAx = ^GMA, ^FAx = ^FEA => ^GMA = ^FEA => GM // EF. Mà EF là tiếp tuyến tại I của (C₂)

Nên C₂I vuông góc GM. Do GM là dây cung của (C₂) nên I là điểm chính giữa cung nhỏ GM

=> AI là phân giác của ^GAM hay AI là phân giác của ^FAE => \(\frac{AF}{AE}=\frac{IF}{IE}\) 

Tương tự: \(\frac{BF}{BE}=\frac{IF}{IE}\). Từ đó: \(\frac{AF}{AE}=\frac{BF}{BE}\Rightarrow AF.BE=AE.BF\)

Áp dụng ĐL Ptolemy vào tứ giác AEBF nội tiếp có: \(AF.BE+AE.BF=AB.EF\)

Hay \(2AE.BF=2AB.ED\). Suy ra: \(\frac{AE}{AB}=\frac{ED}{BF}\) kết hợp với ^AED = ^ABF (Cùng chắn cung AF)

=> \(\Delta\)ADE ~  \(\Delta\)AFB (c.g.c) => ^DAE = ^FAB. Mà ^IAE = ^IAF (cmt) => ^IAD = ^IAB

=> AI là phân giác ^BAD (1)

Cũng từ \(\Delta\)ADE ~ \(\Delta\)AFB =>\(\frac{AD}{AE}=\frac{AF}{AB}\); ^FAD = ^BAE => \(\Delta\)ADF ~ \(\Delta\)AEB (c.g.c)

=> ^ADF = ^AEB hay ^ADI = ^AEB. Tương tự: ^BDI = ^AEB => ^ADI = ^BDI => DI là phân giác ^ADB (2)

Từ (1);(2) suy ra: Điểm I là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABD (đpcm).

b) Gọi My là tia đối của MN ta có ^AMy = ^EMN (3)

Ta thấy: IE là tiếp tuyến chung của (C₂);(C₃) => EM.EA = EN.EB (=EI²) => Tứ giác AMNB nội tiếp

=> ^EMN = ^EBA = ^EFA = ^MGA (Do GM // EF) (4)

Từ (3);(4) suy ra: ^MGA = ^AMy = 1/2.Sđ(AM => My là tia tiếp tuyến của (C₂) hay MN là tiếp tuyến của (C₂)

Hoàn toàn tương tự: MN cũng là tiếp tuyến của (C₃). Từ đó: MN là tiếp tuyến chung của (C₂) và (C₃) (đpcm).