Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r.Độ dài các đường cao là x,y,z
1)Chứng minh rằng:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{r}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 6 2019
\(\frac{S}{h_a}+\frac{S}{h_b}+\frac{S}{h_c}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=p=\frac{S}{r}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\)
Học tốt!!!!!!!!!!!!!!!!
12 tháng 11 2015
Gọi a,b,c lần lượt là độ dài các cạnh của tam giác ứng với đường cao h1, h2, h3 , p là nửa chu tam giác
Ta có: \(\frac{ah_1}{2}=\frac{bh_2}{2}=\frac{ch_3}{2}=S\Rightarrow\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_3}=\frac{a}{2S}+\frac{b}{2S}+\frac{c}{2S}=\frac{p}{S}=\frac{p}{pr}=\frac{1}{r}\)
7 tháng 3 2016
Bài toán này dựa vào nhận xét sau đây: Nếu AD,BE,CF là đường cao của tam giác thì \(\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}=\frac{1}{r}.\) Thực vậy, do tâm đường tròn nội tiếp chia tam giác ra thành 3 tam giác con có cùng độ dài đường cao là r. Do đó \(S=r\cdot\frac{AB+BC+CA}{2},\) với \(S\) là diện tích tam giác ABC. Mặt khác \(\frac{1}{AD}=\frac{BC}{2S},\frac{1}{BE}=\frac{CA}{2S},\frac{1}{CF}=\frac{AB}{2S}\to\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}=\frac{AB+BC+CA}{2S}.\) Từ đó ta có đẳng thức.
Quay lại bài toán, từ giả thiết suy ra \(\frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP}=\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}.\) Do quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc, ta có \(AM\ge AD,AN\ge BE,AP\ge CF\to\)các dấu bằng phải xảy ra, do đó M,N,P trùng với chân các đường cao của tam giác. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau BP=BM, suy ra hai tam giác vuông AMB và CPB bằng nhau (g.c.g). Do đó AB=CB. Tương tự BC=AC. Vậy tam giác ABC đều.
WR
29 tháng 6 2019
Gọi O là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A.Ta có:
\(S_{OAC}+S_{OAB}-S_{OBC}=S_{ABC}\Rightarrow b.r_a+c.r_a-a.r_a=2S\Rightarrow S=\frac{r_a\left(b+c-a\right)}{2}=r_a\left(p-a\right).\)(p là nửa chu vi tam giác ABC)
Cm tương tự: \(S=r_a\left(p-a\right)=r_b\left(p-b\right)=r_c\left(p-c\right)=p.r\)
\(\Rightarrow\frac{S}{r_a}+\frac{S}{r_b}+\frac{S}{r_c}=p-a+p-b+p-c=3p-2p=p=\frac{S}{r}\Rightarrow\frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}\)(đpcm)
29 tháng 6 2019
Đặt BC=a, AC=b, AB=c
\(P=\frac{a+b+c}{2}\)
S là diện tích của tam giác ABC
Ta có công thức tính bán kính của các đường tròn bàng tiếp:
Tại góc A: \(r_a=\frac{S}{P-a}\)
Tại góc B: \(r_b=\frac{S}{P-b}\)
Tại góc C: \(r_c=\frac{S}{P-c}\)
Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC:
\(r=\frac{S}{P}\)
=> \(\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{P-a}{S}+\frac{P-b}{S}+\frac{P-c}{S}=\frac{3P}{S}-\frac{a+b+c}{S}\)
\(=\frac{3P}{S}-\frac{2P}{S}=\frac{P}{S}=\frac{1}{r}\)
11 tháng 4 2020
Vẽ đường cao AH của \(\Delta\)ABC
Ta có: \(S_{MAB}=S_{MAC}=\frac{1}{2}S_{ABC}\)mà AM > AH (AH _|_ HM)
Do đó: \(\frac{4}{a}=\frac{2\cdot AH}{S_{ABC}}\le\frac{2AM}{S_{ABC}}=\frac{AM}{S_{MAB}}\left(1\right)\)
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta\)ABC
Ta có \(S_{ABC}=S_{IBC}+S_{IAC}+S_{IAB}\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{r\cdot BC}{2}+\frac{r\cdot AC}{2}+\frac{r\cdot AB}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{r}=\frac{AB+BC+AC}{2S_{MAB}}\)
Tương tự xét \(\Delta\)MAB và \(\Delta\)MAC ta cũng có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{2}{r_1}=\frac{AM+AB+\frac{BC}{2}}{S_{MAB}}\\\frac{2}{r_2}=\frac{AM+AC+\frac{BC}{2}}{A_{MAC}}\end{cases}\left(2\right)}\)
Do đó:
\(\frac{4}{a}+\frac{2}{r}\le\frac{MA}{S_{MAB}}+\frac{AB+BC+AC}{2S_{MAB}}=\frac{1}{2}\left(\frac{AM}{S_{MAB}}+\frac{AB+\frac{AC}{2}}{S_{MAB}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{AM}{S_{MAC}}+\frac{AC+\frac{BC}{2}}{S_{MAC}}\right)=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\)
Vậy \(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\ge2\left(\frac{1}{r}+\frac{1}{a}\right)\)
UI
12 tháng 8 2020
Ap dung cong thuc \(r=\frac{b+c-a}{2}\) (b=AC,c=AB , cai nay ban tu chung minh nhe)
ta co \(\frac{r}{a}=\frac{b+c-a}{2a}\le\frac{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}-a}{2a}=\frac{\sqrt{2.a^2}-a}{2a}=\frac{a\sqrt{2}-a}{2a}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\)
Dau = xay ra khi b=c hay tam giac ABC vuong can tai A
Gọi \(S\),\(P\)lần lượt là diện tích và chu vi của tam giác ABC
a,b,c lần lượt là các cạnh của tam giác ABC
Ta có:\(\frac{r}{2}=\frac{S}{P}\Leftrightarrow\frac{P}{2}=\frac{S}{r}\)
\(\frac{S}{x}+\frac{S}{y}+\frac{S}{z}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}=\frac{P}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{S}{x}+\frac{S}{y}+\frac{S}{z}=\frac{S}{r}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{r}\)
a,b,