cho a, b>0 và a+b=1. CM:
(a+\(\frac{1}{a}\))+(b+\(\frac{1}{b}\))>=2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BN
21 tháng 7 2019
a. \(a+\frac{1}{a}\ge2\Leftrightarrow\frac{a^2+1}{a}\ge2\Leftrightarrow a^2+1\ge2a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy...
b, \(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\)
\(\Leftrightarrow2a+2b\ge a+b+2\sqrt{ab}\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy...
T
21 tháng 7 2019
Cách khác
a)Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương ta có đpcm: \(a+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{a.\frac{1}{a}}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 1.
b) Áp dụng bđt Bunhiacopxki \(2\left(\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2\right)\ge\left(\sqrt{a}+b\right)^2\)
Suy ra \(\left(\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2\right)\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2}\). Thay vào và rút gọn ta có đpcm:
\(VT\ge\sqrt{\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}}=\left|\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\right|=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}=VP^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 2 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
a/ \(VT=\frac{1}{a+a+b+c}+\frac{1}{a+b+b+c}+\frac{1}{a+b+c+c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{4}\)
b/ \(VT\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{bc}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{ca}{4}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(VT\le\frac{a}{4}+\frac{b}{4}+\frac{b}{4}+\frac{c}{4}+\frac{c}{4}+\frac{a}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
10 tháng 2 2019
\(P=\frac{\frac{a^2+b^2+ab}{ab}.\frac{a^2-2ab+b^2}{a^2b^2}}{\frac{a^4+b^4-a^3b-ab^3}{a^2b^2}}\)
\(=\frac{\frac{a^4-2a^3b+a^2b^2+a^2b^2-2ab^3+b^4+a^3b-2a^2b^2+ab^3}{a^3b^3}}{\frac{a^4+b^4-a^3b-ab^3}{a^2b^2}}\)
\(=\frac{a^4+b^4-a^3b-ab^3}{a^3b^3}:\frac{a^4+b^4-a^3b-ab^3}{a^2b^2}=\frac{1}{ab}\)
2 tháng 9 2019
Cần sửa đề : cho \(a\ge b\ge c>0\).
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(VT=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{ab+bc}+\frac{c^4}{ca+bc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{1}{2\cdot\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
LD
2 tháng 9 2019
\(\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{ab+bc}+\frac{c^4}{ac+bc}\)>=\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(ab+bc+ac\right)}>=\frac{ac+bc+ac}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)=1/2
Giair đi
Xét \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\frac{1}{2}\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow\frac{1}{4}\ge ab\)
\(\left(a+\frac{1}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{b}\right)\)
\(=1+\frac{b+a}{ab}\)
\(=1+\frac{1}{ab}\ge1+\frac{1}{\frac{1}{4}}=1+4=5\)
=> đề sai