Cho \(n\inℤ\).CMR: Nếu \(\left(n-1\right)^2< n< \left(n+1\right)^2\) thì n không là số chính phương.
Ai biết giúp mình với!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 8 2023
Câu đầu tiên của đề bài là "Với mọi \(n\inℤ^+\)..." chứ không phải \(m\) nhé, mình gõ nhầm.
XO
3 tháng 8 2023
a) Ta phân tích \(n=x_1^{a_1}.x_2^{a_2}...x_m^{a_m}\) (với \(x_1;x_2;..x_n\) là số nguyên tố ;
\(a_1;a_2;..a_m\inℕ^∗\) và là số mũ tối đa của mỗi số nguyên tố )
Khi đó ta có \(\sigma\left(n\right)=\left(a_1+1\right)\left(a_2+1\right)...\left(a_m+1\right)\)
mà \(\sigma\left(n\right)\) lẻ \(\Leftrightarrow\) \(a_1+1;a_2+1;...a_m+1\) lẻ
\(\Leftrightarrow a_1;a_2;..a_m\) chẵn
\(\Leftrightarrow n\) là số chính phương
=> n luôn có dạng \(n=l^2\)
Mặt khác \(x_1;x_2;..x_m\) là số nguyên tố
Nếu \(x_1;x_2;..x_m\) đều là số nguyên tố lẻ thì l lẻ
<=> r = 0 nên n = 2r.l2 đúng (1)
Nếu \(x_1;x_2;..x_m\) tồn tại 1 cơ số \(x_k=2\)
TH1 : \(a_k\) \(⋮2\)
\(\Leftrightarrow a_k+1\) lẻ => \(\sigma\left(n\right)\) lẻ (thỏa mãn giả thiết)
=> n có dạng n = 2r.l2 (r chẵn , l lẻ)(2)
TH2 : ak lẻ
Ta dễ loại TH2 vì khi đó \(a_k+1⋮2\) nên \(\sigma\left(n\right)⋮2\) (trái với giả thiết)
Nếu \(n=2^m\) (m \(⋮2\)) thì r = m ; l = 1 (tm) (3)
Từ (1);(2);(3) => ĐPCM
X
24 tháng 1 2019
Ta có : \(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)
\(=\left[n\left(n+3\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]\)
\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)
Đặt : \(n^2+3n=k\)\(\Rightarrow A=k\left(k+2\right)=k^2+2k\)
Ta có : \(\left(k+1\right)^2=\left(k+1\right)\left(k+1\right)\)
\(=k\left(k+1\right)+1\left(k+1\right)\)
\(=k^2+k+k+1=k^2+2k+1\)
Do : \(n\inℕ^∗\Rightarrow n^2+3n>0\)hay : \(k>0\)
\(\Rightarrow k^2+2k>k^2\)
Ta có : \(k^2< k^2+2k< k^2+2k+1\)
hay : \(k^2< k^2+2k< \left(k+1\right)^2\)
Do : \(k^2\)và \(\left(k+1\right)^2\)là hai số chính phương liên tiếp
\(\Rightarrow k^2+2k\)không phải là số chính phương
4 tháng 6 2023
Mình quên không nói là đề bài yêu cầu chứng minh 2 bổ đề trên.
Đề sai thế n = 1 thì
\(\left(1-1\right)^2< 1< \left(1+1\right)^2\)
Giả sử n là số chính phương
vì: n là số nguyên >1 và \(\left(n-1\right)^2< n< \left(n+1\right)^2\)
nên: n=n^2.\(\Rightarrow n^2-n=0\Leftrightarrow n\left(n-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n-1=0\\n=0\end{cases}}\)
Mà: n>1 nên: n-1>0
và n>0 (vô lí) vậy n ko là số chính phương