Cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=4
CMR: \(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}>2\sqrt{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 5 2019
Lời giải:
Vì \(a+b+c=4;a,b,c>0\Rightarrow 0< a,b,c< 4\)
Ta có:
\(0< a< 4\Rightarrow \sqrt[4]{a}< \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow a< \sqrt{2}.\sqrt[4]{a^3}\)
Hoàn toàn tương tự: \(b< \sqrt{2}.\sqrt[4]{b^3}; c< \sqrt{2}.\sqrt[4]{c^3}\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ở trên:
\(\Rightarrow a+b+c< \sqrt{2}(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3})\)
\(\Leftrightarrow 4< \sqrt{2}(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3})\)
\(\Leftrightarrow \sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}> 2\sqrt{2}\) (đpcm)
29 tháng 5 2019
\(P=\sqrt{4-a^2}+\sqrt{4-b^2}+\sqrt{4-c^2}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{3}P=\Sigma2\sqrt{3}\sqrt{4-a^2}\)\(=\Sigma2\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(4-a^2\right)}\)
Vì \(a,b,c\in\left[-2,2\right]\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}4-a^2\ge0\\4-b^2\ge0\\4-c^2\ge0\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm, ta có:
\(\left(a+b+c\right)+\left(4-a^2\right)\ge2\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(4-a^2\right)}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{3}P\le\Sigma\left(a+b+c\right)+\left(4-a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{3}P\le3\left(a+b+c\right)+12-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow2\sqrt{3}P\le21-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=21-\frac{9}{3}=18\)
\(\Rightarrow P\le3\sqrt{3}\)
\(''=''\Leftrightarrow a=b=c=1\)
24 tháng 5 2018
Bài này sai rồi nha bn!!
Áp dụng bdt Bunhiacopski
\(\sqrt{4-a^2}+\sqrt{4-b^2}+\sqrt{4-c^2}<=\sqrt{3*(12-(a^2+b^2+c^2))} a^2+b^2+c^2>=(a+b+c)^2/3 = 1/3 <\sqrt{35} \)
Vậy là phải bé hơn hoặc bằng căn 35 mới đúng đề!
4 tháng 10 2017
\(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{4+\left(b+c\right)^2}+\sqrt{4+\left(a+c\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{4+\left(a+b\right)^2}+\sqrt{16+\left(a+b+2c\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{36+\left(2a+2b+2c\right)^2}=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}\)
KN
22 tháng 8 2020
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương \(\frac{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}}{\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a\right)^3}}}\le2.\sqrt{2}.\sqrt[3]{9}\)
Ta quy bài toán về chứng minh hai bất đẳng thức sau
\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\le3\sqrt{2}\)và \(\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a\right)^3}}\ge\frac{\sqrt[3]{3}}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta được \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\le\sqrt{6\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)\(\le\sqrt{6\sqrt{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}}\le3\sqrt{2}\)
Mặt khác ta lại có \(\left[\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(x+y+z\right)\right]^2\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^4\); \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Do đó ta được \(\left(x^3+y^3+z^3\right)^2\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^3}{3}\)
Áp dụng kết quả trên ta thu được \(\left[\frac{1}{\left(a+b\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a\right)^3}\right]^2\ge\frac{1}{3}\left[\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\right]^3\)
Mà theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có\(\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\ge\frac{1}{2\left(a^2+b^2\right)}+\frac{1}{2\left(b^2+c^2\right)}+\frac{1}{2\left(c^2+a^2\right)}\) \(\ge\frac{9}{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\frac{9}{4\sqrt{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}}\ge\frac{9}{4\sqrt{9}}=\frac{3}{4}\)
Do đó ta có \(\left[\frac{1}{\left(a+b\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a\right)^3}\right]^2\ge\frac{1}{3}\left[\frac{3}{4}\right]^3=\frac{9}{64}\)
Suy ra \(\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a\right)^3}}\ge\frac{\sqrt[3]{3}}{2}\)
Từ các kết quả trên ta được \(\frac{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}}{\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a\right)^3}}}\le\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt[3]{3}}{2}}=2.\sqrt{2}.\sqrt[3]{9}\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Lời giải:
Vì \(a+b+c=4; b,c>0\Rightarrow a=4-b-c< 4\)
\(\Rightarrow a^4< 4a^3\)
\(\Rightarrow \frac{a^4}{4}< a^3\Rightarrow \frac{a}{\sqrt[4]{4}}< \sqrt[4]{a^3}\). Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{b}{\sqrt[4]{4}}< \sqrt[4]{b^3}; \frac{c}{\sqrt[4]{4}}< \sqrt[4]{c^3}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}> \frac{a+b+c}{\sqrt[4]{4}}=\frac{4}{\sqrt[4]{4}}=2\sqrt{2}\)
Ta có đpcm.