Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh \(p^{2016}-1⋮60\)?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VN
0
NP
0
22 tháng 12 2015
3) CM:p+1 chia hết cho 2
vì p lớn hơn 3 suy ra p là số lẻ và p+1 là số chẵn.
Vậy p+1 chia hết cho 2
CM:p+1 chia hết cho 3
Ta có:p x (p+1) x (p+2) chia hết cho 3(vì tích 3 số liên tiếp luôn chia hết cho 3)
Mà p và p+2 là số nguyên tố nên p và p+2 ko chia hết cho 3
Vậy p+1 chia hết cho 3
Mà ƯCLN(2,3) là 1
Vậy p+1 chia hết cho 2x3 là 6
Vậy p+1 chia hết cho 6 với mọi p lớn hơn 3 và p+2 cùng là số nguyên tố.
2 tháng 7 2023
TH1: p=3k+1
=>p+2=3k+3(loại)
=>p=3k+2 và p là số lẻ
p+1=3k+3=3(k+1) chia hết cho 3
p là số lẻ
=>p+1 chia hết cho 2
=>p+1 chia hết cho 6
dùng định lí nhỏ phecma c/m bổ đề
Ta có:\(p^{2016}-1=\left(p^4\right)^{504}-1^{504}=\left(p^4-1\right)\cdot M=\left[\left(p^2\right)^2-1^2\right]\cdot M=\left(p^2-1\right)\left(p^2+1\right)\cdot M\)
\(=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\cdot M\)
Do p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên p lẻ.
\(\Rightarrow\) p-1 và p+1 chẵn
\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮4\)
Lại có: \(\left(p-1\right)p\left(p+1\right)⋮3\) mà p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮3\)
Do \(\left(3,4\right)=1\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮12\)
Do p không chia hết cho 5 nên p có các dạng:\(5k\pm1;5k\pm2\)
Nếu \(p=5k\pm1\Rightarrow p^2=25k\pm10+1=5m+1\)
Nếu \(p=5k\pm2\Rightarrow p^2=25k\pm20k+4=5n-1\)
\(\Rightarrow p^4\) chia 5 dư 1
\(\Rightarrow p^4-1⋮5\)
Do \(\left(5,12\right)=1\Rightarrow\left(p^4-1\right)\cdot M⋮60^{đpcm}\)