Question

[Linh Chi]

Cho tam giác ABC cân tại A, BD, CE là đường cao trong tam giác. BD cắt CE tại điểm O.

a) CM: BD = CE

b) CM: Tam giác OBC là tam giác cân 

c) CM: OE = OD

d) CM; OA là phân giác góc A

e) Gọi I là trung điểm của BC. CMR: 3 điểm A, O, I thẳng hàng

Giups hộ mình nha giờ mình phải đi ngủ mai dậy mình sẽ xem bạn nào làm được mình tick nhé

Cmả ơn trước nhá yêu lắm nè hihihi

Answer 1

[Kuroba Kaito]

CM : Ta có : t/giác ABC cân tại A <=> góc B = góc C

Xét t/giác BDC và t/giác CEB

có góc D = góc E = 90⁰ (gt)

    BC : chung

  góc B = góc C (cmt)

=> t/giác BDC = t/giác CEB (cạnh huyền - góc nhọn)

=> BD = CE (hai cạnh tương ứng)

b) Ta có: t/giác BDC = t/giác CEB (cmt)

=> BE = CD (hai cạnh tương ứng)

Mà AE + EB = AB

   AD + DC = AC

và AB = AC (vì ABC là t/giác cân)

=> AE = AD

Xét t/giác ABD và t/giác ACE

có AB = AC (cmt)

  góc A : chung

  AE = AD (Cmt)

=> t/giác ABD = t/giác ACE (c.g.c)

=> góc ABD = góc ACE (hai góc tương ứng)

Xét t/giác EOB và t/giác DOC

có góc EBO = góc OCB (cmt)

   BE = CD (cmt)

 góc BEO = CDO = 90⁰ (gt)

=> t/giác EOB = t/giác DOC (g.c.g)

=> BO = CO (hai cạnh tương ứng)

=> t/giác OCB là t/giác cân

c) Ta có: t/giác EOB = t/giác DOC (Cmt)

=> OB = OD (hai cạnh tương ứng)

d) Xét t/giác ABO và t/giác ACO

có AB = AC (cmt)

  OB = OC (cmt)

 AO : chung

=> t/giác ABO = t/giác ACO (c.c.c)

=> góc BAO = góc CAO (hai góc tương ứng)

=> AO là tia p/giác của góc A

e) Nối AI. Xét t/giác ABI và t/giác ACI

có AB = AC (cmt)

  OB = OC (cmt)

 AH : chung

=> t/giác ABI = t/giác ACI (c.c.c)

=> góc BIA = góc CIA (hai góc tương ứng)

Mà góc BIA + góc CIA = 180⁰ (kề bù)

=> 2.góc BIA = 180⁰

=> góc BIA = 180⁰ : 2 = 90⁰ => AI \(\perp\)BC (1)

Nối OI. Xét t/giác BOI và t/giác COI

có BO = CO (cmt)

  BI = CI (gt)

  OI : chung

=> t/giác BOI = t/giác COI (c.c.c)

=> góc BIO = góc CIO (hai góc tương ứng)

Mà góc BIO + góc CIO = 180⁰ (kề bù)

=> 2.góc BIO = 180⁰

=> góc BIO = 180⁰ : 2 = 90⁰ => OI \(\perp\)BC (2) 

Từ(1) và (2) suy ra AI \(\equiv\)BC => 3 điểm A,O,I thẳng hàng

Answer 2

[Lê Tài Bảo Châu]

                                                                CM

a) Vì CE và BD là các đường cao của tam giác ABC cân tại A ( giả thiết )

     \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{E1}=\widehat{D1}\\AE=EB=AD=DC\end{cases}}\)

Xét \(\Delta BEC\)và \(\Delta CDB\)có:

           \(\hept{\begin{cases}EB=DC\left(cmt\right)\\\widehat{B}=\widehat{C}\left(giathiet\right)\\BCchung\end{cases}}\)\(\Rightarrow\Delta BEC=\Delta CDB\) ( c-g-c )

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}BD=CE\left(2canhtuongung\right)\\EB=DC\left(2canhtuongung\right)\\\widehat{B1}=\widehat{C1}\left(2goctuongung\right)\end{cases}}\)

b)Xét \(\Delta OBC\)có \(\widehat{B1}=\widehat{C1}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta OBC\)cân tại 0.

c) Vì \(\Delta OBC\)cân tại 0 (cmt) \(\Rightarrow OB=OC\)( định nghĩa )

 Ta có :\(\hept{\begin{cases}OB=OC\left(cmt\right)\\EC=DB\left(cmt\right)\\OE+OC=EC;OD+OB=DB\left(hinhve\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow OE=OD\)

d) Xét \(\Delta ABO\)và \(\Delta ACO\)có:

       \(\hept{\begin{cases}AB=AC\left(giathiet\right)\\OB=OC\left(cmt\right)\\ACchung\end{cases}}\)\(\Rightarrow\Delta ABO=\Delta ACO\)( c-c-c )

\(\Rightarrow\widehat{A1}=\widehat{A2}\)( 2 góc tương ứng )

         Mà OA nằm giữa 2 tia AB và AC.

\(\Rightarrow OA\)là tia phân giác của \(\widehat{A}\).

e) Vì \(I\) là trung điểm của cạnh BC \(\Rightarrow IB=IC\)

\(\Rightarrow AI\)là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)(1)

Ta lại có CE là đường cao của \(\Delta ABC\)cân tại A

\(\Rightarrow CE\)là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow o\)là trọng tâm của \(\Delta ABC\)(3)

Từ (1) và (3) \(\Rightarrow A,O,I\)thẳn hàng ( định nghĩa ).