Cho tam giác ABC, I là giao điểm 3 đường phân giác. Đường thẳng đi qua I vuông góc với CI cắt AC và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:
a) \(\Delta ABC\)và \(\Delta ABI\)đồng dạng.
b) \(\frac{AM}{BN}+\left(\frac{AI}{BI}\right)^2\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, dễ thấy AIMˆ=90+12CˆAIM^=90+12C^
mặt khác AIBˆ=360−BICˆ−AICˆ=Cˆ+12(Bˆ+Aˆ)AIB^=360−BIC^−AIC^=C^+12(B^+A^)
mà 12(Bˆ+Aˆ)=90−12Cˆ12(B^+A^)=90−12C^
⇒AIBˆ=90+12Cˆ⇒AIB^=90+12C^
⇒AIBˆ=AMIˆ⇒AIB^=AMI^
Xét tam giác AIM và ABI có:
AIBˆ=AMIˆ;BAIˆ=IAMˆAIB^=AMI^;BAI^=IAM^
vậy hai tam giác này đồng dạng
b, chứng minh tam giác BIN đồng dạng ABI kết hợp AIM đồng dạng ABI ta được: AI2=AM.AB;BI2=BN.AB⇒AI2BI2=AMBN
Ngoài ra ta đặt BC=a;AC=b;AB=c thì ta có một đẳng thức cực kỳ đẹp sau đây:\(\frac{IA^2}{bc}+\frac{IB^2}{ca}+\frac{IC^2}{ab}=1\)
b)CIE = ICB (2 góc so le trong, DE // BC)
mà ICB = ICE (IC là tia phân giác của ECB)
=> CIE = ICE
=> Tam giác EIC cân tại I
=> EI = EC
BID = IBC (2 góc so le trong, DE // BC)
mà IBC = IBD (IB là tia phân giác của DBC)
=> BID = IBD
=> Tam giác DIB cân tại D
=> DI = DB
DE = DI + IE = DB + CE
đề bài có chút sai xót, sửa lại là
b) \(\frac{AM}{BN}=\left(\frac{AI}{BI}\right)^2\)