Question

[Phương Trần]

Cho hai số a>0,b>0 và a khác b

CMR: B<\(\frac{\left(a-b\right)^2}{8\left(A-B\right)}< A\)

trong đó A=\(\frac{a+b}{2}\)(trung bình cộng của a và b)

và\(B=\sqrt{ab}\)(trung bình nhân của a và b)

Answer 1

[Sarah Nguyễn]

Ta có:

\(A-B=\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}>0\)

Do đó: B < A và:

\(\frac{\left(a-b\right)^2}{8\left(A-B\right)}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{4\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}\)

Mà: \(\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}=\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}=\frac{a+b}{4}+\frac{\sqrt{ab}}{2}=\frac{A+B}{2}\)

\(B< A\Rightarrow B< \frac{A+B}{2}< A\left(đpcm\right)\)