a, b , c > 0
\(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=\dfrac{4}{3}\)
Tìm min a + b + c
@Akai Haruma
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 10 2018
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq \frac{4}{2ab+a^2+b^2}=\frac{4}{a+b)^2}=4(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(1=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}\Rightarrow \frac{3}{2ab}\geq 6(2)\)
\(a^4+b^4\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}\geq \frac{(\frac{(a+b)^2}{2})^2}{2}=\frac{1}{8}\) \(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \frac{1}{16}(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow P\geq 4+6+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{161}{16}\). Dấu bằng xảy ra tại $a=b=0,5$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 10 2018
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)\geq 2. \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{8}{(x+y)^2}=\frac{9}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{80}{81xy}+5xy\geq 2\sqrt{\frac{80}{81}.5}=\frac{40}{9}\)
\(\frac{4}{3}=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{4}{9}\Rightarrow \frac{1}{81ab}\geq \frac{1}{36}\)
Cộng những BĐT vừa cm được ở trên với nhau:
\(\Rightarrow A\geq \frac{9}{2}+\frac{40}{9}+\frac{1}{36}=\frac{323}{36}\)
Vậy \(A_{\min}=\frac{323}{36}\Leftrightarrow a=b=\frac{2}{3}\)
TN
0
TN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2022
\(\dfrac{4}{3}\le a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=a+\sqrt[]{\dfrac{a}{2}.2b}+\sqrt[3]{\dfrac{a}{4}.b.4c}\)
\(\le a+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{2}+2b\right)+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a}{4}+b+4c\right)=\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow Q\ge1\)
\(Q_{min}=1\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{16}{21};\dfrac{4}{21};\dfrac{1}{21}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 2 2019
Do \(a,b,c>0\) nên theo quy tắc phân số: \(\dfrac{a}{a+b}< \dfrac{a+c}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\dfrac{b}{b+c}< \dfrac{a+b}{a+b+c}\); \(\dfrac{c}{a+c}< \dfrac{b+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}< \dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Theo BĐT Cauchy: \(\sqrt{a\left(b+c\right)}\le\dfrac{a+b+c}{2}\Leftrightarrow\dfrac{2}{a+b+c}\le\dfrac{1}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2a}{a+b+c}\le\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\)
Tương tự \(\dfrac{2b}{a+b+c}\le\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}\); \(\dfrac{2c}{a+b+c}\le\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\)
(3 dấu = không thể đồng thời xảy ra, để chặt chẽ bạn có thể chia trường hợp)
Cộng vế với vế:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}< \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\)
7 tháng 2 2018
ko sai đề. mình vừa nghĩ ra rồi
P=\(a+\frac{1}{2}\sqrt{a.4b}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{a.4b.16c} \le a+\frac {a+4b}{4}+\frac{a+4b+16c}{12}=\frac{4(a+b+c)}{3}=\frac{4}{3}\)
TV
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2020
\(\dfrac{4}{3}=a+2\sqrt{\dfrac{a}{4}.b}+\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{\dfrac{a}{2}.2b.8c}\)
\(\dfrac{4}{3}\le a+\dfrac{a}{4}+b+\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{a}{2}+2b+8c\right)=\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{16}{21};\dfrac{4}{21};\dfrac{1}{21}\right)\)
1 tháng 1 2021
Anh ơi cho em hỏi làm sao để tách/tìm điểm rơi như thế này ạ?
T
7 tháng 2 2020
\(VT-VP=\left[\frac{a}{\sqrt[3]{4\left(b^3+c^3\right)}}-\frac{a}{b+c}\right]+\left[\Sigma_{cyc}\frac{a}{b+c}-\frac{3}{2}\right]\)
\(=\left[\frac{-3a\left(b+c\right)}{\left(b+c\right)\sqrt[3]{4\left(b^3+c^3\right)}\left[\left(b+c\right)^2+\left(b+c\right)\sqrt[3]{4\left(b^3+c^3\right)}+\left(\sqrt[3]{4\left(b^3+c^3\right)}\right)^2\right]}+\frac{1}{2\left(b+a\right)\left(c+a\right)}\right]\left(b-c\right)^2+\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\left(b-c\right)^2}{2\left(b+a\right)\left(c+a\right)}\)
Em bế tắc rồi:((
Lời giải:
Bài này bạn chịu khó tìm điểm rơi rồi áp BĐT AM-GM vào thôi:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{ab}=\frac{1}{2}\sqrt{a.4b}\leq \frac{a+4b}{4}\)
\(\sqrt[3]{abc}=\frac{1}{4}\sqrt[3]{a.4b.16c}\leq \frac{a+4b+16c}{12}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq a+\frac{a+4b}{4}+\frac{a+4b+16c}{12}=\frac{4}{3}(a+b+c)\)
Mà \(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=\frac{4}{3}\Rightarrow a+b+c\geq 1\)
Vậy \((a+b+c)_{\min}=1\)