cho a,b,c>0.Tìm gtnn của A=\(\frac{10a^2+10b^2+c^2}{ab+bc+ac}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 10 2018
ta có:
\(abc=ab+bc+ca\Rightarrow1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Lại có:
\(\frac{a^2}{b^3}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge\frac{3}{b},\frac{b^2}{c^3}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{3}{c},\frac{c^2}{a^3}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{a}\)
\(\Rightarrow P+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\Rightarrow P\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\)
25 tháng 5 2019
Đặt: \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}=t\)
Dễ chứng minh \(t\ge3\)
Ta viết lại biểu thức: \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}+\frac{ab+bc+ac}{\left(a+b+c\right)^2}=t+\frac{1}{t}\)
\(=\frac{1}{9}t+\frac{1}{t}+\frac{8}{9}t\ge2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8}{9}t\ge\frac{2}{3}+\frac{24}{9}=\frac{10}{3}\)
\("="\Leftrightarrow t=3\Leftrightarrow a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 4 2019
\(M=\sum\frac{ab}{\sqrt{\left(2a+3b\right)^2+\left(a-b\right)^2}}\le\sum\frac{ab}{\sqrt{\left(2a+3b\right)^2}}=\sum\frac{ab}{2a+3b}\)
\(\Rightarrow M\le\frac{1}{32}\sum ab\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\right)=\frac{1}{25}\sum\left(3a+2b\right)=\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)
\(M\le\frac{1}{5}\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{5}.3=\frac{3}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
7 tháng 9 2018
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2ab+2bc+2ca}+\frac{1}{2ab+2bc+2ca}\)+2ca
Do a,b,c dương nên ADBĐT Cauchy ta được:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{4}{(a+b+c)^2}=4\)
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow2ab+2bc+2ca\le\frac{2}{3}\)\(\Rightarrow\frac{1}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{3}{2}\)
Suy ra P\(\ge4+\frac{3}{2}=\frac{11}{2}\)
Dấu = khi a=b=c=\(\frac{1}{3}\)
PN
8 tháng 8 2020
đây là 1 sự nhầm lẫn đối với các bạn nhác tìm dấu = :))
Sử dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{\left(1+\sqrt{18}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=\frac{19+\sqrt{72}}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{25\sqrt{2}}{1}=25\sqrt{2}\)
bài làm của e :
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(Q\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
Theo hệ quả của AM-GM thì : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(< =>\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)
Tiếp tục sử dụng Svacxo thì ta được :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+21=30\)
Vậy \(Min_P=30\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
8 tháng 8 2020
Và đương nhiên cách bạn dcv_new chỉ đúng với \(k\ge2\) ở bài:
https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html
Thực ra bài Min \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\) khi a + b + c = 1
chỉ là hệ quả của bài \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{k}{ab+bc+ca}\) khi \(a+b+c\le1\)
Ngoài ra nếu \(k< 2\) thì min là: \(\left(1+\sqrt{2k}\right)^2\)
T
17 tháng 6 2019
#)Trả lời :
\(VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{a+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}\)
Tách VT = A + B và xét :
\(A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3b}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab}{2}\right)\)
\(B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(\Rightarrow VT=A+B=3+\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\)\(\sum\)\(ab=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6\)
( Do \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\))
Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1
Tham khảo nhé ^^
\(A=\frac{10a^2+10b^2+c^2}{ab+bc+ca}=\frac{8a^2+\frac{c^2}{2}+8b^2+\frac{c^2}{2}+2a^2+2b^2}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\frac{2\sqrt{8a^2.\frac{c^2}{2}}+2\sqrt{8b^2.\frac{c^2}{2}}+4\sqrt{a^2b^2}}{ab+bc+ca}=\frac{4\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}=4\)
Dấu \(=\)khi \(a=b=\frac{c}{4}\).
Bạn tham khảo nhé: áp dụng bđt côsi cho 2 số dương
2a2+2b2>=4ab;8a2+c2/2>=4ac;8b2+c2/2>=4ac nên A>=4
dấu bằng xảy ra khi 4a=4b=c