Chứng minh rằng:
\(\dfrac{9ab}{ab+a+b}\le1+a+b\left(a,b>0\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 7 2021
Đặt vế trái là P:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2}=\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\)
Tương tự với 2 biểu thức còn lại, ta được:
\(P\le\dfrac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}}+\dfrac{c}{c+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}\)
\(P\le\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
27 tháng 7 2021
Bạn tham khảo ở đây nhé.
https://olm.vn/hoi-dap/detail/96898674827.html
30 tháng 5 2023
2:
\(VT=\dfrac{a^2b}{a-b}\cdot\dfrac{2\sqrt{2}\left(a-b\right)}{5\sqrt{3}\cdot a^2\sqrt{b}}=\dfrac{2}{15}\cdot\sqrt{6b}=VP\)
1: \(=9\sqrt{ab}+\dfrac{7\sqrt{ab}}{b}-\dfrac{5\sqrt{ab}}{a}-3\sqrt{ab}=\)6căn ab+căn ab(7/b-5/a)
=căn ab(6+7/b-5/a)
N
7 tháng 12 2017
Bài 1:
dự đoán dấu = sẽ là \(a^2=b^2=c^2=\dfrac{1}{2}\) nên cứ thế mà chém thôi .
Ta có: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\)
Bunyakovsky:\(\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\)
\(VT=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\left(1+c^2\right)\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)^2\)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
P/s: còn 1 cách khác nữa đó là khai triển sau đó xài schur . Chi tiết trong tệp BĐT schur .pdf
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 5 2018
a) Sai với \(a=1,b=2\)
b)
Thực hiện biến đổi tương đương:
\(\frac{a}{3b}+\frac{b(a+b)}{a^2+ab+b^2}\geq 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{3b}+\frac{b(a+b)+a^2}{a^2+ab+b^2}-\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{3b}-\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{3b}-\frac{a}{a^2+ab+b^2}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2+ab+b^2-3ab}{3b(a^2+ab+b^2)}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{3b(a^2+ab+b^2)}\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b$
c) BĐT sai với \(a=1,b=2\)
7 tháng 3 2023
Theo đề bài ta có :
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
Đặt \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=k\) ( 1 )
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(k=\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}\)
\(k^2=\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\) ( 2 )
Mà từ ( 1 ) = > \(k^2=\dfrac{a}{c}.\dfrac{b}{d}=\dfrac{ab}{cd}\) ( 3 )
Từ ( 2 ) , ( 3 )
= > \(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\) ( đpcm )
OY
7 tháng 11 2021
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk,c=dk\)
Ta có: \(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{bkb}{dkd}=\dfrac{b^2k}{d^2k}=\dfrac{b^2}{d^2}=\dfrac{b}{d}\left(1\right)\)
\(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\dfrac{\left(bk-b\right)^2}{\left(dk-d\right)^2}=\dfrac{bk-b}{dk-d}=\dfrac{b\left(k-1\right)}{d\left(k-1\right)}=\dfrac{b}{d}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)
7 tháng 11 2021
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{b^2k}{d^2k}=\dfrac{b^2}{d^2}\\ \dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\dfrac{\left(bk-b\right)^2}{\left(dk-d\right)^2}=\dfrac{b^2\left(k-1\right)^2}{d^2\left(k-1\right)^2}=\dfrac{b^2}{d^2}\\ \Rightarrow\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)
H2
2
3 tháng 3 2020
Ta có:\(\left|a\right|,\left|b\right|\) \(\leq\) \(1\)
\(\implies\) \(\left(1-a\right).\left(1-b\right)\) \(\geq\) \(0\)
\(\implies\) \(1-b-a+ab\)\(\geq\) \(0\)
\(\implies\) \(1+ab\) \(\geq\) \(a+b\)
\(\implies\) \(\left|1+ab\right|\) \(\geq\) \(\left|a+b\right|\) \(\left(đpcm\right)\)
\(\dfrac{9ab}{ab+a+b}\)\(\le\)1+a+b
\(\Rightarrow\)9ab\(\le\)(1+a+b)(a+b+ab)
Xét 9ab = [3\(\sqrt{ab}\)]\(^2\) = [\(\sqrt{ab}\) + \(\sqrt{ab}\) + \(\sqrt{ab}\)]\(^2\) = [1.\(\sqrt{ab}\) + \(\sqrt{a}\).\(\sqrt{b}\)+ \(\sqrt{b}\).\(\sqrt{a}\)]\(^2\) ≤ (1\(^2\) + a + b)( ab + b + a)
Dấu = xảy ra khi a = b = 1