Cho n là số nguyên dương. C/m:
\(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{3}{3^3}+...+\dfrac{n}{3^n}< \dfrac{3}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 11 2021
\(\sqrt{3}-\dfrac{m}{n}>0\Leftrightarrow\sqrt{3}>\dfrac{m}{n}\Leftrightarrow3n^2>m^2\)
Vì \(m,n\ge1\) nên \(3n^2\ge m^2+1\)
Với \(3n^2=m^2+1\Leftrightarrow m^2+1⋮3\Leftrightarrow m^2\) chia 3 dư 2 (vô lí)
\(\Leftrightarrow3n^2\ge m^2+2\)
Lại có \(4m^2>1\Leftrightarrow\left(m+\dfrac{1}{2m}\right)^2=m^2+1+\dfrac{1}{4m^2}< m^2+2\)
\(\Leftrightarrow\left(m+\dfrac{1}{2m}\right)^2< 3n^2\Leftrightarrow m+\dfrac{1}{2m}< n\sqrt{3}\\ \Leftrightarrow n\sqrt{3}-m>\dfrac{1}{2m}\)
11 tháng 4 2022
\(C=\dfrac{n+2+n+3+n+4}{n+1}=\dfrac{3n+9}{n+1}\)
Để C là số nguyên thì \(n+1\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\)
hay \(n\in\left\{0;-2;1;-3;2;-4;5;-7\right\}\)
24 tháng 2 2022
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
double s,a;
int i,n;
int main()
{
cin>>a;
s=0;
n=0;
while (s<=a)
{
n=n+1;
s=s+1/(n*1.0);
}
cout<<n;
return 0;
}
6 tháng 4 2017
Bài 1:
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\) ta tính được giá trị là \(9\)
Ta sẽ chứng minh nó là GTLN
Thật vậy ta cần chứng minh
\(\Sigma\dfrac{11a+4b}{4a^2-ab+2b^2}\le\dfrac{3\left(ab+ac+bc\right)}{abc}\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(\dfrac{3}{a}-\dfrac{11a+4b}{4a^2-ab+2b^2}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\dfrac{\left(a-b\right)\left(a-6b\right)}{a\left(4a^2-ab+2b^2\right)}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(\dfrac{\left(a-b\right)\left(a-6b\right)}{a\left(4a^2-ab+2b^2\right)}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\dfrac{\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)}{ab\left(4a^2-ab+2b^2\right)}\ge0\) (luôn đúng)
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(a^5+b^2+c^2\right)\left(\dfrac{1}{a}+b^2+c^2\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^5+b^2+c^2}\le\dfrac{\dfrac{1}{a}+b^2+c^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)
Tương tự rồi cộng theo vế ta có:
\(Σ\dfrac{1}{a^5+b^2+c^2}\le\dfrac{Σ\dfrac{1}{a}+2Σa^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)
Ta chứng minh \(Σ\dfrac{1}{a}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) - BĐT cuối đúng
Vậy ta có ĐPCM. Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bài 3:
Từ \(a+b+c=3abc\Rightarrow\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=3\)
Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)\(\Rightarrow xy+yz+xz=3\) và BĐT cần chứng minh là
\(x^3+y^3+z^3\ge3\). Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^3+x^3+1\ge3\sqrt[3]{x^3\cdot x^3\cdot1}=3x^2\)
Tương tự có: \(y^3+y^3+1\ge3y^2;z^3+z^3+1\ge3z^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(2\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Lại có BĐT quen thuộc \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge3\left(xy+yz+xz\right)=9\left(xy+yz+xz=3\right)\)
\(\Rightarrow2\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\ge9\Rightarrow2\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge6\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3\ge3\). BĐT cuối đúng nên ta có ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
T/b:Vâng, rất giỏi 
Đặt \(A=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{3}{3^3}+...+\dfrac{n}{3^n}\)
\(3A=1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{3^2}+...+\dfrac{n}{3^{n-1}}\)
\(\Rightarrow2A=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{n-1}}-\dfrac{n}{3^n}< 1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{n-1}}\)
Đặt \(B=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{n-1}}\)
Tương tự ta được \(2B=3-\dfrac{1}{3^{n-1}}< 3\)
\(\Rightarrow B< \dfrac{3}{2}\Rightarrow2A< \dfrac{3}{2}\Rightarrow A< \dfrac{3}{4}\)(đpcm)
BonkingTrần Trung Nguyên làm giùm bài này luôn đi