cho a, b lớn hơn hoặc bằng 1 cmr \(ab\ge a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
20 tháng 9 2017
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1+ab-1-a^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{1+ab-1-b^2}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(b-a\right)\left(1+b^2\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{b\left(a-b\right)\left(1+a^2\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(b-a\right)\left(1+b^2\right)-b\left(b-a\right)\left(1+a^2\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(b-a\right)\left(a+ab^2-b-a^2b\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\forall ab\ge1\)
15 tháng 11 2016
Áp dụng BĐT Cauchy : \(\frac{\sqrt{\left(a-1\right).1}}{a}+\frac{\sqrt{\left(b-2\right).2}}{\sqrt{2}b}\le\frac{a-1+1}{2a}+\frac{b-2+2}{2\sqrt{2}b}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a-1=1\\b-2=2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=2\\b=4\end{cases}}\)
Vậy max A = \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\Leftrightarrow\left(a;b\right)=\left(2;4\right)\)
9 tháng 6 2018
\(S=\frac{\sqrt{a-2}}{a}+\frac{\sqrt{b-6}}{b}+\frac{\sqrt{c-12}}{c}=\frac{\sqrt{2\left(a-2\right)}}{\sqrt{2}a}+\frac{\sqrt{6\left(b-6\right)}}{\sqrt{6}b}+\frac{\sqrt{12\left(c-12\right)}}{\sqrt{12}c}\)
\(\le\frac{\frac{2+a-2}{2}}{\sqrt{2}a}+\frac{\frac{6+b-6}{2}}{\sqrt{6}b}+\frac{\frac{12+c-12}{2}}{\sqrt{12}c}=\frac{a}{2\sqrt{2}a}+\frac{b}{2\sqrt{6}b}+\frac{c}{2\sqrt{12c}}\)(AM-GM)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{6}}+\frac{1}{2\sqrt{12}}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=4;b=12;c=24\)
FC
2 tháng 9 2019
1. Ta có:
\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( Nếu a, b ≥ 0)
=> \(a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
=> \(\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+2\sqrt{ab}\ge0+2\sqrt{ab}\)
=> \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) => \(\frac{\left(a+b\right)}{2}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{2}\)
=> \(\frac{\left(a+b\right)}{2}\ge\sqrt{ab}\);
(Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\) => a = b)
2 tháng 9 2019
1. BĐT \(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
2. BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge a+2\sqrt{ab}+b\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
3. Ta có: \(M=\frac{2}{\sqrt{1\cdot2005}}+\frac{2}{\sqrt{2\cdot2004}}+...+\frac{2}{\sqrt{1003\cdot1003}}\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\sqrt{1\cdot2005}\le\frac{1+2005}{2}=1003\)
Do dấu "=" không xảy ra nên \(\sqrt{1\cdot2005}< 1003\)
Khi đó: \(\frac{2}{\sqrt{1\cdot2005}}>\frac{2}{1003}\)
Chứng minh tương tự với các phân thức còn lại rồi cộng vế ta được :
\(M>\frac{2006}{1003}>\frac{2005}{1003}\) ( đpcm )
MN
1
20 tháng 1 2018
Do a,b>1 => a-1, b-1 >0
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số không âm ta có:
+) \(a=\left(a-1\right)+1\ge2\sqrt{a-1}\)(1)
+) \(b=\left(b-1\right)+1\ge2\sqrt{b-1}\)(2)
Từ (1) và (2) Suy ra
\(\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le\frac{a\left(b-1+1\right)}{2}+\frac{b\left(a-1+1\right)}{2}=\frac{2ab}{2}=ab\)
14 tháng 6 2017
Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số không âm ta có:\(ab\sqrt{c-1}+bc\sqrt{a-9}+ca\sqrt{b-4}\)
\(=ab\sqrt{1.\left(c-1\right)}+\dfrac{bc\sqrt{9\cdot\left(a-9\right)}}{3}+\dfrac{ca\sqrt{4.\left(b-4\right)}}{2}\)\(\le ab.\dfrac{1+\left(c-1\right)}{2}+bc.\dfrac{9+\left(a-9\right)}{6}+ca.\dfrac{4+\left(b-4\right)}{4}=abc\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{11abc}{12}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}1=c-1\\9=a-9\\4=b-4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=2\\a=18\\b=8\end{matrix}\right.\)
7 tháng 8 2020
CM cái sau:
Ta có: \(a+\frac{1}{a}=\frac{a}{1}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{1}.\frac{1}{a}}=2.1=2\) (bất đẳng thức Cauchy)
Chứng minh:
\(\left(a-b\right)^2\ge0\left(\forall a,b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
(áp dụng vào cái trên)
7 tháng 8 2020
Dấu "=" xảy ra khi:
\(a=\frac{1}{a}\Leftrightarrow a^2=1\Rightarrow a=1\left(a>0\right)\)
\(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{b-1}}{b}+\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}\le1\)
Ta có \(\dfrac{1.\sqrt{b-1}}{b}+\dfrac{1.\sqrt{a-1}}{a}\le\dfrac{1+b-1}{2b}+\dfrac{1+a-1}{2a}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)