cho\(x+y\ge1\) CMR \(x^8+y^8\ge\frac{1}{128}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
D
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 7 2019
Lời giải:
Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\geq \frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow \frac{y^2+1+x^2+1}{(x^2+1)(y^2+1)}\geq \frac{2}{xy+1}\)
\(\Leftrightarrow (xy+1)(x^2+y^2+2)\geq 2(x^2+1)(y^2+1)\)
\(\Leftrightarrow xy(x^2+y^2)+2xy+x^2+y^2+2\geq 2x^2y^2+2x^2+2y^2+2\)
\(\Leftrightarrow xy(x^2+y^2)+2xy-2x^2y^2-x^2-y^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow xy(x^2+y^2-2xy)-(x^2-2xy+y^2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow xy(x-y)^2-(x-y)^2\geq 0\leftrightarrow (xy-1)(x-y)^2\geq 0\)
BĐT trên luôn đúng với mọi $x\geq 1, y\geq 1$. Do đó ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $xy=1$ hoặc $x=y\geq 1$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 4 2019
Câu hỏi của Nguyen - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Cùng một người hỏi luôn :(
TQ
2
VT
1 tháng 1 2018
Cái này biến đổi tương đương nhé, t có mỗi cách đó !
ta có BĐT cần chứng minh
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)+\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)\ge2\left(1+y^2\right)\left(1+x^2\right)\)
\(\Leftrightarrow1+x^2+xy+x^3y+1+y^2+xy+y^3\ge2\left(1+x^2+y^2+x^2y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2xy+x^3y+xy^3-x^2-y^2-2x^2y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2-\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)
bđt này luôn đúng với \(x,y\ge1\)
dấu = xảy ra <=> x=y >=1
^_^
29 tháng 10 2019
chọn của vũ tiền châu nhé
nhớ đêý
cảm ơn
t i c k nhé
7 tháng 8 2020
Ta có:
\(\left(\frac{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}}{\sqrt{x+y+z}}\right)^2=\frac{\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\right)^2}{x+y+z}\le\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}=3-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3-2=1\)
=> \(\sqrt{x+y+z}\ge\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 3/2
19 tháng 3 2020
Ta có: \(x^4+y^4\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y\right)^4}{8}=\frac{1}{8}\)
Dấu "=" khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
29 tháng 5 2019
https://diendantoanhoc.net/topic/167390-cmr-sum-fracx3y38geq-frac19frac227xyyzzx/
bạn tham khảo nhé
VD
0
BH
6 tháng 8 2019
Áp dụng cô si
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{cb}}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{\frac{1}{ac}}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=0\)
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}\le\frac{x+1}{2}\\\sqrt{y-1}\le\frac{y-1+1}{2}\\\sqrt{z-2}\le\frac{z-2+1}{2}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}\le\frac{x+1+y-1+1+z-2+1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}\le\frac{x+y+z}{2}\)
\("="\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)
18 tháng 10 2020
Sửa ĐK của c) : a, b, c > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\)
\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{\frac{1}{bc}}=\frac{2}{\sqrt{bc}}\)
\(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{1}{ca}}=\frac{2}{\sqrt{ca}}\)
Cộng các vế tương ứng
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}+\frac{2}{\sqrt{bc}}+\frac{2}{\sqrt{ca}}\)
=> \(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\)
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c