Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng tỏ a 2 - 1 chia hết cho 24.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PT
1
14 tháng 2 2016
ta co : a2-1 = (a+1) . (a-1)
p>3 nen p la so le .suy ra a+1 va a-1 la hai so chan lien tiep nen chia het cho 2.4=8
lai co p>3 nen a+1 hoac a-1 chia het cho 3
ma (3,8)=1 va 3.8=24
suy ra a^2-1 chia het cho 24
NT
0
TL
0
PT
0
NN
1
LC
24 tháng 10 2015
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3
=>p là số lẻ
=>p=2k+1
Khi đó: (p-1).(p+1)=(2k+1-1).(2k+1+1)=2k.(2k+2)=2k.2.(k+1)=4.k.(k+1)
Vì k và k+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp
=>k.(k+1) chia hết cho 2
=>4.k.(k+1) chia hết cho 4.2
=>4.k.(k+1) chia hết cho 8
=>(p-1).(p+1) chia hết cho 8(1)
Lại có: (p-1).(p+1)=p2-1
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3
=>p không chia hết cho 3
=>p2 chia 3 dư 1
=>p2-1 chia hết cho 3
=>(p-1).(p+1) chia hết cho 3(2)
Từ (1) và (2) ta thấy:
(p-1).(p+1) chia hết cho 8 và 3
Mà (8,3)=1
=>(p-1).(p+1) chia hết cho 8.3
=>(p-1).(p+1) chia hết cho 24
Vậy (p-1).(p+1) chia hết cho 24
H
0
OD
1
AM
2 tháng 2 2017
Ta có : (p-1)(p+1) = p2 - 1
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p ko chia hết cho 3. Suy ra : p2 không chia hết cho 3
\(\Rightarrow\)p2 chia 3 dư 1 (Vì p2 là số chính phương)
\(\Rightarrow\)p2 -1 \(⋮\)3
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 2. Suy ra p-1\(⋮\)2 và p+1\(⋮\)2.
\(\Rightarrow\)(p-1)(p+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp
Do đó: (p-1)(p+1) \(⋮\)8
Vì (p-1)(p+1) chia hết cho 3 và 8 nên (p-1)(p+1) \(⋮\)24 (đpcm)
DL
20 tháng 6 2017
\(a\left(a^2-1\right)\)
+ Xét : a là số lẻ thì a^2 chia 8 dư 1
Vậy a^2-1 chia hết cho 8 (1)
+ Xét : vì 3<a
Nên a^2 chia 3 dư 1
Và a^2-1 chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra : a^2-1 là bội của 3 và 8
=> a(a^2-1) chia hết cho 24 (đpcm)
DL
20 tháng 6 2017
Another way :
A là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a không chia hết cho 2,nghĩa là a có dạng là 2k+1
Từ đó ta thay vào :
\(a\left(a^2-1\right)=a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)
Suy ra a chia hết cho 4(1)
+ Mặt khác : \(a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên :
\(\orbr{\begin{cases}a⋮2\left(2\right)\\a⋮3\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1) (2) và (3)
Ta có : a(a^2-1) chia hết cho 24
BN
1
S
22 tháng 11 2017
Ta có: A = n2 - 1 = (n - 1)(n + 1)
Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên (n - 1)(n + 1) là tích hai số chẵn liên tiếp => A \(⋮\) 8 (1)
Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên n có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k thuộc N)
- Nếu n = 3k + 1 thì:
A = (n - 1)(n + 1) = (3k + 1 - 1)(3k + 1 + 1) = 3k(3k + 2) \(⋮\) 3
- Nếu n = 3k + 2 thì:
A = (n - 1)(n + 1) = (3k + 2 - 1)(3k + 2 + 1) = (3k + 1)(3k + 3) = 3(3k + 1)(k + 1) \(⋮\) 3
Từ hai trường hợp trên ta có A \(⋮\) 3 (2)
Mà (8,3) = 1 (3)
Từ (1),(2),(3) => \(A⋮24\)
Lời giải:
Vì $a$ là snt lớn hơn 3 nên $a$ lẻ và $a$ không chia hết cho 3.
Vì $a\not\vdots 3\Rightarrow a\equiv \pm 1\pmod 3$
$\Rightarrow a^2\equiv (\pm 1)^2\equiv 1\pmod 3$
$\Rightarrow a^2-1\equiv 0\pmod 3$
$\Rightarrow a^2-1\vdots 3(1)$
Lại có:
$a$ lẻ nên đặt $a=2k+1$ với $k$ nguyên.
$a^2-1=(2k+1)^2-1=4k^2+4k=4k(k+1)$
Vì $k,k+1$ là 2 số nguyên liên tiếp nên trong 2 số sẽ có 1 số chẵn và 1 số lẻ.
$\Rightarrow k(k+1)\vdots 2$
$\Rightarrow a^2-1=4k(k+1)\vdots 8$
Vậy $a^2-1\vdots 8(2)$
Từ $(1); (2)$, mà $(3,8)=1$ nên $a^2-1\vdots (3.8)$ hay $a^2-1\vdots 24$