Question

[Nguyễn Thùy Chi]

cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a³+b³+c³-3abc=1.tìm giá trị nhỏ nhất của P=a²+b²+c²

Answer 1

[HiệU NguyễN]

\(1=\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)^2=\left(a+b+c\right)^2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)^2\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(\le\left(\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\right)^3=\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge1\)

Answer 2

[Nguyễn Bủh Lmao]

    Ta có:
    a³ + b³ + c³ - 3abc = 1
\(\Leftrightarrow\) (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = 1
\(\forall\) x ∈ R, ta có:
a² + b² + c² - ab - bc - ca = \(\dfrac{1}{2}\)[(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²] > 0 [Vì (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = 1 nên phải > 0]
=> a + b + c > 0

    Ta có:
    (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = 1
\(\Leftrightarrow\) P = \(\dfrac{1}{a+b+c}\) +  ab + bc + ca
\(\Leftrightarrow\) 2P = \(\dfrac{2}{a+b+c}\) + 2ab + 2bc + 2ca
\(\Leftrightarrow\) 3P = \(\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+b+c}+\left(a+b+c\right)^2\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương, ta có:
\(\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+b+c}+\left(a+b+c\right)^2\ge3\)

\(\Leftrightarrow\) P \(\ge1\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1&\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=1&\end{matrix}\right.\)(Tự giải nha :)))

Chứng minh AM-GM 3 số:
     x + y + z ≥ 3\(\sqrt[3]{xyz}\)
\(\Leftrightarrow\) (\(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\))(\(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}-\sqrt[3]{xy}-\sqrt[3]{yz}-\sqrt[3]{zx}\)) ≥ 0 (lđ \(\forall\) x, y, z > 0)