cho tam giác ABC và O là một điểm bất kì trong tam giác. Các Tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R. Chứng minh \(\frac{OA}{OP}\times\frac{OB}{OQ}\times\frac{OC}{OR}\ge8\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 4 2018
Lời giải:
Đặt \(S_{BOC}=S_1;S_{AOC}=S_2;S_{AOB}=S_3;S_{ABC}=S\)
Ta có \(\dfrac{OA}{OP}=\dfrac{S_{AOB}}{S_{POB}}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{POC}}=\dfrac{S_{AOB}+S_{AOC}}{S_{COB}}=\dfrac{S_2+S_3}{S_1}\)
Tương tự:\(\dfrac{OB}{OQ}=\dfrac{S_3+S_1}{S_2};\dfrac{OC}{OR}=\dfrac{S_1+S_2}{S_3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{OA}{OP}.\dfrac{OB}{OQ}.\dfrac{OC}{OR}=\dfrac{\left(S_1+S_2\right)\left(S_2+S_3\right)\left(S_3+S_1\right)}{S_1.S_2.S_3}\ge\)
\(\ge\dfrac{2\sqrt{S_1.S_2}.2\sqrt{S_2.S_3}.2\sqrt{S_3.S_1}}{S_1.S_2.S_3}=8\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow S_1=S_2=S_3\Leftrightarrow\) O là giao điểm ba đường trung tuyến tam giác ABC
21 tháng 2 2020
Kẻ OM vuông góc với BC, kẻ AI vuông góc với BC
\(\Rightarrow\)OM//AI
Xét tam giác AA'I có OM//AI(cmt)
\(\Rightarrow\)\(\frac{OM}{AI}=\frac{OA'}{AA'}\)(Theo hệ quả Ta-lét)
\(\Rightarrow\)\(\frac{OA'}{AA'}=\frac{\frac{1}{2}.OM.BC}{\frac{1}{2}.AI.BC}=\frac{S_{BDC}}{S_{ABC}}\)
Tương tự, ta có \(\frac{DB'}{BB'}=\frac{S_{ADC}}{S_{ABC}}\)
\(\frac{DC'}{CC'}=\frac{S_{ADB}}{S_{ABC}}\)
nên \(\Rightarrow\)đ/cm