chứng minh các bất đẳng thức a^2+b^2+c^2+d^2+4 >=2.(a+b+c+d)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 3 2019
(a^2+b^2)/2>=ab
<=>(a^2+b^2)>=2ab
<=> a^2+2ab+b^2>=2ab
<=>a^2+b^2>=0(luôn đúng)
=> điều phải chứng minh.
KT
9 tháng 3 2019
Xét hiệu: \(a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu "=" xra <=> a = b
Áp dụng ta có:
a) \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)
dấu "=" xra <=> a = b = c = 1
b) \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\left(d^2+4\right)\ge4a.4b.4c.4d=256abcd\)
Dấu "=" xra <=> a = b= c = d = 2
KB
9 tháng 3 2019
a ) Áp dụng BĐT phụ \(a^2+b^2\ge2ab\) cho các cặp số thực , ta có :
\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
b ) Làm tương tự như a )
AV
9 tháng 3 2019
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
a) Lại có : \(\left(a-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow a^2+1\ge2a\)
cmtt \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)
Nhân vế theo vế ta đc: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\left(dpcm\right)\)
b) Tiếp tục có \(\left(a-2\right)^2\ge0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow a^2+4\ge4a\)
CMTT: \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+4\ge4b\\c^2+4\ge4c\end{matrix}\right.\)
Nhân vế theo vế ta đc: \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\ge4a.4b.4c=256abc\left(dpcm\right)\)
S
0
MC
1
1 tháng 10 2017
Ta có : 4( b² + c² + d² + e²) ≥( b + c + d +e )² ( dễ lắm, bạn tự cm lấy nhé, )
=> ( b² + c² + d² + e²) ≥ ( b + c + d +e )²/4 (*)
G/s bdt đề bài đúng, ta có:
<=> a² + b²+ c² + d²+ e² - a(b + c + d +e) ≥ 0
Lại có ( *) => ta có : a² + b²+ c² + d² + e² - a(b + c + d +e) ≥ a² + ( b + c + d +e )²/4 - a(b + c + d +e)
<=> [ a - ( b + c+ d +e)/2]² => hiển nhiên đúng
Vậy ta có dpcm.
Với cách này ta cũng có thể chứng minh các bdt tương tự với 3 biến, 4 biến v.v....
Chúc bạn học giỏi, chào bạn!
LD
2 tháng 1 2019
\(VT=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)
\(=\dfrac{a^2}{ab+ca}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ca+bc}\ge\left(Schwarz\right)\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Mà theo Cô-si ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) (hằng đẳng thức)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
\(a^2+b^2+c^2+d^2+4\ge2\left(a+b+c+d\right)\)
\(a^2+b^2+c^2+d^2+4-2\left(a+b+c+d\right)\ge0\)
\(a^2+b^2+c^2+d^2+4-2a-2b-2c-2d\ge0\)
\(\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)+\left(d^2-2d+1\right)\ge0\)
\(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2+\left(d-1\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức trên đúng với mọi a; b; c; d
=> bất đẳng thức được chứng minh