Question

[Trần Thị Hảo]

Tìm 2 số nguyên x và ý. Biết

2x⁶ - 2x³y + y² = 64

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(x^6+x^6-2x^3y+y^2=64\Rightarrow x^6+\left(x^3-y\right)^2=64\Rightarrow\left(x^3-y\right)^2=64-x^6\)

Do \(\left(x^3-y\right)^2\ge0\Rightarrow64-x^6\ge0\Rightarrow\left|x\right|\le2\)

Và \(\left(x^3-y\right)^2\) là số chính phương \(\Rightarrow64-x^6\) là số chính phương

\(x=2\Rightarrow\left(x^3-y\right)^2=64-64=0\Rightarrow y=x^3=8\)

\(x=-2\Rightarrow\left(x^3-y\right)^2=0\Rightarrow y=x^3=-8\)

\(x=1\Rightarrow64-x^6=63\) không phải số chính phương (loại)

\(x=-1\Rightarrow64-x^3=65\) không phải số chính phương (loại)

\(x=0\Rightarrow\left(x^3-y\right)^2=64\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^3-y=8\\x^3-y=-8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=x^3-8=-8\\y=x^3+8=8\end{matrix}\right.\)

Vậy có 4 cặp số nguyên t/m: \(\left(x;y\right)=\left(2;8\right);\left(-2;-8\right);\left(0;8\right);\left(0;-8\right)\)