Cho a, b, c > -1. Chứng minh rằng: \(\frac{1+a^2}{1+b+c^2}+\frac{1+b^2}{1+c+a^2}+\frac{1+c^2}{1+a+b^2}\ge2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 11 2019
a/ Đề sai, đề đúng phải là \(p=\frac{a+b+c}{2}\)
b/ \(\Leftrightarrow\frac{2}{2+a^2b}+\frac{2}{2+b^2c}+\frac{2}{2+c^2a}\ge2\)
\(VT=1-\frac{a^2b}{1+1+a^2b}+1-\frac{b^2c}{1+1+b^2c}+1-\frac{c^2a}{1+1+c^2a}\)
\(VT\ge3-\left(\frac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^2b}}+\frac{b^2c}{3\sqrt[3]{b^2c}}+\frac{c^2a}{3\sqrt[3]{c^2a}}\right)\)
\(VT\ge3-\frac{1}{9}\left(3\sqrt[3]{a^2.ab.ab}+3\sqrt[3]{b^2.bc.bc}+3\sqrt[3]{c^2.ca.ca}\right)\)
\(VT\ge3-\frac{1}{9}\left(a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ca\right)\)
\(VT\ge3-\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)^2=2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
31 tháng 5 2020
Ta có:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}\)
= \(\left(1-\frac{a^2}{a^2+1}\right)+\left(1-\frac{b^2}{b^2+1}\right)+\left(1-\frac{c^2}{c^2+1}\right)+\left(1-\frac{d^2}{d^2+1}\right)\)
= \(4-\left(\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}+\frac{d^2}{d^2+1}\right)\)
Áp dụng Cô - si:
\(a^2+1\ge2\sqrt{a^2.1}=2a\) <=> \(\frac{a^2}{a^2+1}\le\frac{a}{2}\)
Tương tự => \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{b^2}{b^2+1}\le\frac{b}{2}\\\frac{c^2}{c^2+1}\le\frac{c}{2}\\\frac{d^2}{d^2+1}\le\frac{d}{2}\end{matrix}\right.\)
<=> \(4-\left(\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}+\frac{d^2}{d^2+1}\right)\)
\(\ge4-\frac{a+b+c+d}{2}=2\)
T
20 tháng 3 2020
Sửa đề: \(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\ge\sqrt{2}\left(\Sigma\sqrt{\frac{1-a}{a}}\right)\)
or \(\Sigma\frac{b+c}{a}\ge\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}\)
Theo AM-GM:\(\frac{b+c}{a}\ge2\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}-2\)
Tương tự và cộng lại: \(VT\ge2\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}-6\)
Mà: \(\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}\ge3\sqrt[6]{\frac{8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}}\ge6\)
Từ đó: \(VT\ge2\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}-\Sigma\sqrt{\frac{2\left(b+c\right)}{a}}=VP\)
Done!
HF
25 tháng 7 2020
Câu 1:
\(4\sqrt[4]{\left(a+1\right)\left(b+4\right)\left(c-2\right)\left(d-3\right)}\le a+1+b+4+c-2+d-3=a+b+c+d\)
Dấu = xảy ra khi a = -1; b = -4; c = 2; d= 3
25 tháng 7 2020
\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^2b}\ge\frac{2}{b^3}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b^5}\ge\frac{2}{b^3}-\frac{1}{a^2b}\)
\(\frac{2}{a^3}+\frac{1}{b^3}\ge\frac{3}{a^2b}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a^2b}\le\frac{2}{3a^3}+\frac{1}{3b^3}\)
\(\Rightarrow\)\(\Sigma\frac{a^2}{b^5}\ge\Sigma\left(\frac{5}{3b^3}-\frac{2}{3a^3}\right)=\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\)
PN
9 tháng 8 2020
để ý và dùng cauchy ngược là oke
\(\sqrt{1-a^2}=\sqrt{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}\le\frac{\left(1-a\right)+\left(1+a\right)}{2}=1\)
VL
9 tháng 8 2020
đề này có vấn đề thì phải, ai mò được cho mình xin cái dấu "=" nào
17 tháng 11 2019
Link https://lazi.vn/edu/exercise/cho-a-b-c-la-do-dai-3-canh-cua-mot-tam-giac-va-p-la-nua-chu-vi-chung-minh-1-p-a-1-p-b-1-p-c-21-a-a-b-1-c