Cho số thực x thỏa \(1\le x\le2\) . Tìm GTNN của \(T=\dfrac{3+x}{x}+\dfrac{6-x}{3-x}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 5 2018
Lời giải:
Ta có:
\(T=\frac{3+x}{x}+\frac{6-x}{3-x}=\frac{3}{x}+1+\frac{3}{3-x}+1\)
\(=3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}\right)+2=\frac{9}{x(3-x)}+2\)
Vì \(x\in [1,2]\Rightarrow x,3-x>0\)
Áp dụng BĐT Cauchy ngược dấu: \(x(3-x)\leq \left(\frac{x+3-x}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow T\geq \frac{9}{\frac{9}{4}}+2=6\) hay \(T_{\min}=6\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=3-x\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)
------------
Mặt khác: \(1\leq x\leq 2\Rightarrow (x-1)(x-2)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow 3x-x^2\geq 2\Leftrightarrow x(3-x)\geq 2\)
\(\Rightarrow T\leq \frac{9}{2}+2=\frac{13}{2}\)
Vậy \(T_{\max}=\frac{13}{2}\Leftrightarrow \text{x=1 or x=2} \)
17 tháng 5 2018
thank sir , sir giải hộ em cái bài này luôn với ạ giờ em đăng
31 tháng 5 2021
Áp dụng bđt : \(\dfrac{1}{a}\)+ \(\dfrac{1}{b}\) ≥ \(\dfrac{4}{a+b}\)(dấu "=" xảy ra ⇔ a=b)
⇒ P= \(\dfrac{1}{x+1}\)+ \(\dfrac{1}{y+2}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+1+y+2}\) = \(\dfrac{4}{3+3}\) = \(\dfrac{2}{3}\)
Vậy Pmin=\(\dfrac{3}{2}\) ; dấu '=" xảy ra ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=y+2\\x+y=3\end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)
1 tháng 4 2022
\(x+2y=6\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{6}{2}=\dfrac{x}{2}+y\)
\(P+\dfrac{6}{2}=\dfrac{8}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{x}{2}+y\)
\(\Leftrightarrow P+\dfrac{6}{2}=\left(\dfrac{8}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\left(\dfrac{1}{y}+y\right)\)
vì x;y là số thực dương ,áp dụng BĐT Côsi ta có :
\(\dfrac{8}{x}+\dfrac{x}{2}=2\sqrt{\dfrac{8}{x}+\dfrac{x}{2}}=2\sqrt{4}=2.2=4\)
\(\dfrac{1}{y}+y=2\sqrt{\dfrac{1}{y}+y}=2\sqrt{1}=2.1=2\)
nên \(P+\dfrac{6}{2}\ge6\)
\(\Leftrightarrow P\ge6-\dfrac{6}{2}\)
\(\Leftrightarrow P\ge3\)
vậy \(P_{min}=3\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 3 2021
\(B=\dfrac{1}{x^3+y^3}+\dfrac{1}{xy\left(x+y\right)}=\dfrac{1}{x^3+y^3}+\dfrac{3}{3xy\left(x+y\right)}\)
\(B\ge\dfrac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)}=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{\left(x+y\right)^3}=4+2\sqrt{3}\)
\(B_{min}=4+2\sqrt{3}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3+\sqrt{3}-\sqrt[4]{12}}{6+2\sqrt{3}};\dfrac{3+\sqrt{3}+\sqrt[4]{12}}{6+2\sqrt{3}}\right)\) và hoán vị
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 3 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Shwarz:
$B=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{(x+y)^3-3xy(x+y)}+\frac{1}{xy}$
$=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}$
$\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{1-3xy+3xy}=(1+\sqrt{3})^2$
Vậy $B_{\min}=(1+\sqrt{3})^2$
Dấu "=" xảy ra khi $xy=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}$
24 tháng 5 2022
\(x,y,z>0\)
Áp dụng BĐT Caushy cho 3 số ta có:
\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz\ge3.1=3\)
\(P=\dfrac{x^3-1}{x^2+y+z}+\dfrac{y^3-1}{x+y^2+z}+\dfrac{z^3-1}{x+y+z^2}\)
\(=\dfrac{\left(x^3-1\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)}+\dfrac{\left(y^3-1\right)^2}{\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}+\dfrac{\left(z^3-1\right)^2}{\left(x+y+z^2\right)\left(x^3-1\right)}\)
Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz ta có:
\(P\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}\)
\(\ge\dfrac{\left(3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}=0\)
\(P=0\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(P_{min}=0\)
RR
18 tháng 5 2018
\(T=\frac{3+x}{x}+\frac{6-x}{3-x}=\frac{\left(3+x\right)\left(3-x\right)+x\left(6-x\right)}{x\left(3-x\right)}=\frac{9-x^2+6x-x^2}{x\left(3-x\right)}=\frac{9+6x-2x^2}{x\left(3-x\right)}\)
Đặt T = a
<=> \(\frac{9+6x-2x^2}{x\left(3-x\right)}=a\)
<=> \(9+6x-2x^2=3xa-x^2a\)
<=> \(2x^2-6x-9=x^2a-3xa\)
<=> \(x^2\left(2-a\right)-x\left(6-3a\right)-9=0\)
Phương trình trên có nghiệm
<=> \(\Delta=\left(6-3a\right)^2+4.9.\left(2-a\right)\ge0\)
<=> \(36-36a+9a^2+72-36a\ge0\)
<=> \(9a^2-72a+108\ge0\)
<=> \(\left(a-6\right)\left(a-2\right)\ge0\)
<=> \(\hept{\begin{cases}a\ge6\\a\le2\end{cases}}\)
Vậy \(Min_T=6\) <=> \(x=\frac{3}{2}\)
và \(Max_T=2\Leftrightarrow x\in\varnothing\) (Không tồn tại giá trị lớn nhất của x )
\(T=\dfrac{3}{x}+1+\dfrac{3}{3-x}+1=2+3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3-x}\right)\ge2+3.\dfrac{4}{x+3-x}=6\)
Vậy \(T_{min}=6\) . Dấu "=" xảy ra khi \(x=3-x\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\)
sao mình ra GTLN là 6
GTNN thì mình không biết làm
Mình dùng delta nhé