gợi a,b,c là ba cạnh của một tam giác h\(_{h_a,h_b.h_c}\) là các đường cao tương ứng . CHứng minh hệ thức (a+b+c)(1/a+1/b+1/c ) = \(h_a+h_b+h\left(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right)\) Bạn nào làm dc bài này thì là học rất chắc phần dãy tỉ số rùi đó giúp mik vs nhé
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có \(\sin\widehat{A}=\frac{h_c}{b}=\frac{h_b}{c}=\frac{h_c-h_b}{b-c}=\frac{h_b-h_c}{\frac{a}{k}}=\frac{k\left(h_b-h_c\right)}{a}\) (1)
Lại có : \(\hept{\begin{cases}\sin\widehat{B}=\frac{h_c}{a}\\\sin\widehat{C}=\frac{h_b}{a}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(k\left(\sin\widehat{B}-\sin\widehat{C}\right)=\frac{k\left(h_c-h_b\right)}{a}\) (2)
(1) (2) ...
\(\sin\widehat{B}=\frac{h_a}{c}\)\(;\)\(\sin\widehat{C}=\frac{h_a}{b}\) (1)
\(\hept{\begin{cases}\sin\widehat{B}=\frac{h_c}{a}\\\sin\widehat{C}=\frac{h_b}{a}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}h_c=\sin\widehat{B}.a\\h_b=\sin\widehat{C}.a\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\)\(k\left(\frac{1}{h_b}-\frac{1}{h_c}\right)=\frac{k}{a}.\left(\frac{1}{\sin\widehat{C}}-\frac{1}{\sin\widehat{B}}\right)\) (2)
Thay (1) vào (2) ta được \(\frac{k}{a}.\left(\frac{1}{\sin\widehat{C}}-\frac{1}{\sin\widehat{B}}\right)=\frac{k}{a}.\left(\frac{b}{h_a}-\frac{c}{h_a}\right)=\frac{k}{a}.\frac{\frac{a}{k}}{h_a}=\frac{1}{h_a}\)
đpcm
\(\dfrac{a.h_a}{2}=S\Leftrightarrow a=\dfrac{2S}{h_a}\)
Tương tự:
\(b=\dfrac{2S}{h_b};c=\dfrac{2S}{h_c}\)
\(\dfrac{a+b+c}{4S}=\dfrac{\dfrac{2S}{h_a}+\dfrac{2S}{h_b}+\dfrac{2S}{h_c}}{4S}=\dfrac{2S\left(\dfrac{1}{h_a}+\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}\right)}{4S}=\dfrac{\dfrac{1}{h_a}+\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}}{2}\)
Tương đương:
\(\dfrac{1}{h_a+h_b}+\dfrac{1}{h_b+h_c}+\dfrac{1}{h_c+h_a}\le\dfrac{\dfrac{1}{h_a}+\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}}{2}\)
Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{1}{h_a+h_b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{h_a}+\dfrac{1}{h_b}\right)\)
\(\dfrac{1}{h_b+h_c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}\right)\)
\(\dfrac{1}{h_c+h_a}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{h_c}+\dfrac{1}{h_a}\right)\)
Cộng theo vế suy ra đpcm
-Qua A vẽ đường thẳng Ax song song với CK , từ C vẽ đường thẳng vuông góc AE tại H , trên tia đối tia HA lấy điểm E sao cho HA=HE= \(\dfrac{AE}{2}\). Nối BE
- CM \(\Delta\)ACE cân tại C \(\Rightarrow\) CA=CE=b
- Áp dụng pytago vào \(\Delta\)ABE \(\Rightarrow\) (2hc)2+c2 =(BE)2 \(\le\) (a+b)2 ( dấu = xảy ra khi B,C,E thẳng hàng ) \(\Rightarrow\) (2hc)2 \(\le\) (a+b)2 -c2 (1)
tương tự (2hb)2 =..............(2), (2ha)2 = .........(3)
Cộng vế theo vế (1)(2)(3) ta đc ......đpcm
\(\frac{S}{h_a}+\frac{S}{h_b}+\frac{S}{h_c}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=p=\frac{S}{r}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\)
Học tốt!!!!!!!!!!!!!!!!
Sửa đề \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\left(h_a+h_b+h_c\right)\left(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right)\) \(\left(1\right)\)
Gọi S là diện tích tam giác \(\Rightarrow\)\(S=\frac{ah_a}{2}=\frac{bh_b}{2}=\frac{ch_c}{2}\)\(\Rightarrow\)\(a=\frac{2S}{h_a};b=\frac{2S}{h_b};c=\frac{2S}{h_c}\)
\(VT=\left(\frac{2S}{h_a}+\frac{2S}{h_b}+\frac{2S}{h_c}\right)\left(\frac{1}{\frac{2S}{h_a}}+\frac{1}{\frac{2S}{h_b}}+\frac{1}{\frac{2S}{h_c}}\right)\) ( thay vào là xong )
\(VT=2S\left(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right)\left(\frac{h_a+h_b+h_c}{2S}\right)=\left(h_a+h_b+h_c\right)\left(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right)\) ( đpcm )
Chúc bạn học tốt ~