C/minh : \(A=n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3⋮9\forall n\in\)N*
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NK
1
6 tháng 3 2021
\(\Rightarrow A=2^{2n}-1=4^n-1=\left(4-1\right)\left(4^{n-1}+4^{n-2}+...+4+1\right)=3\cdot\left(4^{n-1}+4^{n-2}+...+4+1\right)⋮3\forall n\in N\)
19 tháng 11 2023
Xét câu A, hiển nhiên khi \(n\rightarrow+\infty\) thì \(a_n=\sqrt{n^3+n}\rightarrow+\infty\) nên dãy (an) không bị chặn.
Ở câu C, lấy n chẵn và cho \(n\rightarrow+\infty\) thì dãy (cn) cũng sẽ tiến tới \(+\infty\). Do đó dãy (cn) cũng là 1 dãy không bị chặn.
Ở câu B, ta xét hàm số \(f\left(x\right)=x^2+\dfrac{1}{x}\) trên \(\left[1;+\infty\right]\), ta thấy \(f'\left(x\right)=2x-\dfrac{1}{x^2}\) \(=\dfrac{2x^3-1}{x^2}\) \(=\dfrac{x^3+x^3-1}{x^2}>0,\forall x\ge1\) . Do đó \(f\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left[1;+\infty\right]\) và do đó cũng đồng biến trên \(ℕ^∗\). Nói cách khác, (bn) là dãy tăng . Như vậy, nếu bn bị chặn thì tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}b_n=L>1\). Chuyển qua giới hạn, ta được \(L=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(n^2+\dfrac{1}{n}\right)=+\infty\), vô lí. Vậy (bn) không bị chặn trên.
Còn lại câu D. Ta thấy với \(n\inℕ^∗\) thì hiển nhiên \(d_n>0\). Ta thấy \(d_n=\dfrac{3n}{n^3+2}=\dfrac{3n}{n^3+1+1}\le\dfrac{3n}{3\sqrt[3]{n^3.1.1}}=1\), với mọi \(n\inℕ^∗\). Vậy, (dn) bị chặn
\(\Rightarrow\) Chọn D.
14 tháng 1 2017
\(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\)(*)
Với \(n=1;n=2\) (*) đúng
Giả sử (*) đúng với n=k khi đó (*) thành
\(1^3+2^3+...+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\)
Thật vậy giả sử (*) đúng với n=k+1 khi đó (*) thành
\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2\left(1\right)\)
Cần chứng minh (1) đúng, mặt khác ta lại có
\(\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2=\frac{\left(n^2+n\right)^2}{4}\)
Đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\(\frac{\left(k^2+k\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow4k^3+12k^2+12k+4=4\left(k+1\right)^3\)
\(\Leftrightarrow4\left(k+1\right)^3=4\left(k+1\right)^3\)
Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm
Vậy \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
13 tháng 1 2017
Ta có : \(1^3+2^3+3^3+....+n^3\)
=\(\left(1+2+3+4+...+n\right)^2\)
=\(\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\) (đpcm)
\(A=n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3⋮9\) (1)
\(A=n^3+\left(n^3+3n^2+3n+1\right)+\left(n^3+6n^2+12n+8\right)\)
\(A=3n^3+9n^2+15n+9\)
\(=3\left(n^3+3n^2+5n+3\right)\)
Đặt \(B=n^3+3n^2+5n+3\)
\(=n^3+n^2+2n^2+2n+3n+3\)
\(=n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(n^2+2n+3\right)\)
\(=\left(n^2+2n\right)\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3\left(n+1\right)\)
Ta thấy \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\) ( tích 3 số tự nhiên liên tiếp )
\(\Rightarrow3\left(n+1\right)⋮3\)
\(\Rightarrow B⋮3\)
\(\Rightarrow B=3k\left(k\in N\right)\)
Vậy \(A=3B=3.3k=9k⋮9\left(dpcm\right)\)