Question

[Lebenslehre]

Chuyên mục: BĐT Toán học #3

Ai trả lời đúng + chính xác sẽ được 3 GP.

Question: Cho a,b,c là 3 số thực dương. Chứng minh BĐT :

\(\dfrac{1}{a\left(a^2+8bc\right)}+\dfrac{1}{b\left(b^2+8ac\right)}+\dfrac{1}{c\left(c^2+8ab\right)}\le\dfrac{1}{3abc}\)

_Hôm qua lê lết ở Sáng tạo Khoa học, đến 7h về -> đắp chăn đi ngủ. Giờ mở máy ra thấy thông báo nhiều quá chừng

_Vẫn kịp ra #Part 3

_Chắc bài trước dễ hơn nên phản hồi cũng tích cực hơn :> 3GP bài trước tiếp tục cho @Unruly Kid.

#When_life_changes_to_be_harder

#Change_yourself_to_be_stronger.

#GudLuck

Answer 1

[Unruly Kid]

BĐT đã cho được viết lại thành

\(\sum \frac{ab}{c^{2}+8ab}\leq \frac{1}{3}<=>\sum \frac{8ab}{c^{2}+8ab}\leq \frac{8}{3}<=>\sum \frac{c^{2}}{c^{2}+8ab}\geq \frac{1}{3}\)Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

\(\sum \frac{c^{2}}{c^{2}+8ab}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+8ab+8bc+8ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+6(ab+bc+ac)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+6.\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=\frac{1}{3}\)Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Answer 2

[Eren]

Nếu thế thì ra đề tổ hợp dễ dễ chút đi