Cho \(a,b,c>0\)và \(a+b+c=1\). Chứng minh \(b+c\ge16abc\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
1
23 tháng 3 2017
Ta có \(b+c=\left(b+c\right).\left(a+b+c\right)^2\) (vì a+b+c=0)
Mà \(\left(a+b+c\right)^2=\left[\left(b+c\right)+a\right]^2\ge4\left(b+c\right).a\)
Do đó \(\left(b+c\right).\left(a+b+c\right)^2\ge4\left(b+c\right)^2.a\ge4.4bc.a=16abc\)vì (b+c)^2>=4bc
dấu = xảy ra thì tự tìm nha bạn
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 5 2021
\(1=\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow b+c=\left(b+c\right).1\ge4a\left(b+c\right)\left(b+c\right)=4a\left(b+c\right)^2\ge4a.4bc=16abc\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4}\right)\)
26 tháng 10 2018
Ta có: b + c = (b + c).(a + b + c)^2 (vì a + b + c = 1)
Ta có [ (a + b) + c ]^2 >= 4(a + b)c (vì (x + y)^2 >= 4xy )
<=> (b + c).(a + b + c)^2 >= 4(a + b)^2.c
lại có (a + b)^2 >= 4ab => 4(a + b)^2.c >= 16abc (đpcm)
bạn tự tìm dấu '=' nha
TT
1
C
22 tháng 9 2019
Áp dụng BĐT Cô -si cho 3 số dương:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
PL
3
21 tháng 1 2017
Chia \(abc\) hai về được BĐT tương đương \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}\ge16\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) được: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}\ge\frac{4}{ab+ac}=\frac{4}{a\left(b+c\right)}\)
Dưới mẫu bạn áp dụng BĐT \(a\left(b+c\right)\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\) thì \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}\ge16\).
BĐT được chứng minh.
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
Câu hỏi của Đỗ Minh Quang - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em xem cách làm ở link này nhé!
Áp dụng bất đẳng thức coosi ta được:
\(a+b+c\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\Rightarrow1\ge4a\left(b+c\right)\ge4a\left(b+c\right)^2\)
Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Rightarrow b+c\ge16abc\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b+c\) và \(b=c\) và \(a+b+c=1\Rightarrow a=\frac{1}{2};b=c=\frac{1}{4}\)