Question

[Nguyễn Duyên]

Cho (O;R) và điểm A bên ngoài đường tròn, Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Gọi H là trung điểm BC
a)Cm A, H, O thẳng hàng
b)Cm A,B,O,C cùng thuộc 1 đường tròn
c)kẻ đường kính BD của (O). kẻ CK vuông góc BD. Cm AC.CD=CK.AO
d)tia OA cắt (O) theo thứ tự tại M,N. Cm MH.AN=AM.HN
e)AD cắt CK tại I. Cm I là trung điểm của CK
Vẽ hình hộ mk nhen

Answer 1

[Unirverse Sky]

a)a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

+ ABAB là tia phân giác của góc HADHAD  

Suy ra: ˆDAB=ˆBAHDAB^=BAH^

+ ACAC là tia phân giác của góc HAEHAE

Suy ra: ˆHAC=ˆCAEHAC^=CAE^

Ta có: ˆHAD+ˆHAE=2(ˆBAH+ˆHAC)HAD^+HAE^=2(BAH^+HAC^)=2.ˆBAC=2.90∘=180∘=2.BAC^=2.90∘=180∘

Vậy ba điểm D,A,ED,A,E thẳng hàng.

b)b) Gọi MM là trung điểm của BCBC

Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có: AD⊥BD;AE⊥CEAD⊥BD;AE⊥CE

Suy ra: BD//CEBD//CE

Vậy tứ giác BDECBDEC là hình thang.

Vì MM là trung điểm của BCBC và AA là trung điểm của DEDE (vì DE là đường kính đường tròn (A))

Nên MAMA là đường trung bình của hình thang BDECBDEC

Suy ra: MA//BD⇒MA⊥DEMA//BD⇒MA⊥DE (vì BD⊥DEBD⊥DE)

Trong tam giác vuông ABCABC có AM là đường trung tuyến nên ta có: MA=MB=MC=BC2MA=MB=MC=BC2

Suy ra MM là tâm đường tròn đường kính BCBC với MAMA là bán kính

Vậy DEDE là tiếp tuyến của đường tròn tâm MM đường kính BC.