Giải hệ phương trình:
\(x+y+z=5\)
\(xy+yz+zx=8\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
NQ
2
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 11 2019
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x+y}{xy}=\frac{5}{12}\\\frac{y+z}{yz}=\frac{5}{18}\\\frac{z+x}{zx}=\frac{13}{36}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=\frac{5}{12}\left(1\right)\\\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{5}{18}\left(2\right)\\\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=\frac{13}{36}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng vế với vế,ta được: \(2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{19}{18}\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{19}{36}\)(4)
Từ (1) và (4) suy ra : \(\frac{1}{z}=\frac{1}{9}\Rightarrow z=9\)
từ (2) và (4) suy ra : \(\frac{1}{x}=\frac{1}{4}\Rightarrow x=4\)
từ (3) và (4) suy ra: \(\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\Rightarrow y=6\)
24 tháng 10 2018
H/d nè:\(\frac{xy}{x+y}=\frac{6}{5}\Rightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{5}{6}\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\)
Tương tự 2 cái còn lại:....
Sau đó cộng 3 cái lại tìm được:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) rồi trừ đi các vế tìm x,y,z
TN
9 tháng 1 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+2\sqrt{x}=x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x}\ge3\sqrt[3]{x^2\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}=3x\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}y^2+2\sqrt{y}\ge3y\\z^2+2\sqrt{z}\ge3z\end{cases}}\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta được:\(\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\ge3\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)^2\). Suy ra
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\ge x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\ge xy+yz+xz\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x=y=z\end{cases}}\Rightarrow x=y=z=1\)
Vậy hệ pt có nghiệm là (x;y;z)=(1;1;1)
Bổ sung :\(x;y;z\inℤ\)
Chú ý là cách làm này của mk chả bt có đúng ko nữa vì nó hơi mang tính ép buộc ^^
Ta có hệ \(\hept{\begin{cases}x+y+z=5\left(1\right)\\xy+yz+zx=8\left(2\right)\end{cases}}\)
Bình phương 2 vế của (1) ta đc \(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=25\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=25\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2.8=25\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=9=8+1\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx+1\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2yz+2xz+2\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2=2\)
Vì x;y;z là các số nguyên nên\(\left(x-y\right)^2;\left(y-z\right)^2;\left(x-z\right)^2\)là các số chính phương
Mà 2 là tổng của 3 số chính phương là 0 ; 1 và 1
Nên\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=1\\\left(x-z\right)^2=1\end{cases}}\)và các hoán vị của chúng
Xét 3 t/h . Mk sẽ làm hộ 1 t/h còn 2 t/h còn lại làm tương tự
*T/H 1:\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=1\\\left(x-z\right)^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y-z=\pm\\x-z=\pm1\end{cases}1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y-z=\pm1\end{cases}}}\)
-Nếu \(\hept{\begin{cases}x=y\\y-z=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=y\\z=y-1\end{cases}}\)
Thay vào pt (1) ban đầu được y+y+y-1=5
<=> 3y = 6
<=> x=y=2
=> z = 1
- Nếu \(\hept{\begin{cases}x=y\\y-z=-1\end{cases}}\)tương tự t/h trên
Các t/h còn lại làm tương tự t/h 1 .Bài này dài phết :)
Chết viết thiếu cái dòng "và các hoán vị của chúng "
Dòng đấy viết thế này :'
Nên \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=1\\\left(x-z\right)^2=1\end{cases}}\)và các hoán vị của chúng
Nếu bn ko bt 2 T/H còn lại là gì thì đây : T/H2\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=1\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(x-z\right)^2=1\end{cases}}\)và T/H3 \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=1\\\left(y-z\right)^2=1\\\left(x-z\right)^2=0\end{cases}}\)