X4+Y4+ \(\frac{1}{4XY}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TG
23 tháng 6 2021
a)
\(A=4x-x^2+3=-\left(x^2-4x-3\right)=-\left(x^2-4x+4\right)+7=-\left(x-2\right)^2+7\le7\)
Daaus = xayr ra khi: x = 2
b) \(B=4x^2-12x+15=4\left(x^2-3x+9\right)-21=4\left(x-3\right)^2-21\ge-21\)
Dấu = xảy ra khi x = 3
c) \(C=4x^2+2y^2-4xy-4y+1=\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(y^2-4y+4\right)-3=\left(2x-y\right)^2+\left(y-2\right)^2-3\ge-3\)
Dấu = xảy ra khi
2x = y và y = 2
=> x = 1 và y = 2
23 tháng 6 2021
a) A = \(-x^2+4x+3=-\left(x-2\right)^2+7\le7\)
Dấu "=" <=> x = 2
b) \(4x^2-12x+15=\left(2x-3\right)^2+6\ge6\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=\dfrac{3}{2}\)
c) \(4x^2+2y^2-4xy-4y+1\)
= \(\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(y^2-4y+4\right)-3\)
= \(\left(2x-y\right)^2+\left(y-2\right)^2-3\ge-3\)
Dấu "=" <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)
LM
1
20 tháng 3 2016
A = [1/(x^2 + y^2) + 1/2xy ] + (1/4xy + 4xy) + 5/4xy
Dễ thấy 1/(x^2 + y^2) + 1/2xy >= 4/(x+y)^2 >= 4
1/4xy + 4xy >= 2.căn (1/4xy .4xy) = 2
5/4xy >= 5 ( vì xy <= (x+y)^2/4 <= 1/4 )
Vậy A >= 4 + 2 + 5
hay GTNN của A là 11
Dấu = xảy ra khi cả 3 dấu = trên cùng xảy ra <=> x = y = 1/2
TN
5 tháng 8 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(S=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{4xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{4xy}+\frac{1}{4xy}\)
\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{4\cdot\frac{1}{4}}=4+1=5\)
Xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
13 tháng 10 2017
Ta có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow4xy\le1\)
\(S=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{4xy}\)
\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+\frac{1}{1}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+1=\frac{4}{1}+1=5\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
13 tháng 10 2017
Áp dụng BĐT AM - MG ta có :
\(xy\)\(\le\)\(\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)\(=\)\(\frac{1}{4}\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng Engel :
\(S\)\(=\)\(\frac{1}{x^2+y^2}\)\(-\)\(\frac{3}{4xy}\)\(=\)\(\frac{1}{x^2+y^2}\)\(-\)\(\frac{2}{4xy}\)\(-\)\(\frac{1}{4xy}\)
\(=\)\(\frac{1}{x^2+y^2}\)\(-\)\(\frac{1}{2xy}\)\(-\)\(\frac{1}{4xy}\)\(\ge\)\(\frac{\left(1-1\right)^2}{x^2-y^2-2xy}\)\(-\)\(\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\)\(\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}\)\(-\)\(\frac{1}{4.\frac{1}{4}}\)\(=\)\(4\)\(-\)\(1\)\(=\)\(5\)
Xảy ra khi \(x\)\(=\)\(y\)\(=\)\(\frac{1}{2}\)
NT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 11 2021
Lời giải:
$A=x^4-4x^3+7x^2-12x+75$
$=(x^2-2x)^2+3x^2-12x+75$
$=(x^2-2x)^2+3(x^2-4x+4)+63$
$=(x^2-2x)^2+3(x-2)^2+63\geq 63$
Vậy $A_{\min}=63$. Giá trị này đạt tại $x^2-2x=x-2=0$
$\Leftrightarrow x=2$
NK
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 2 2021
\(A=\left(x^4-4x^3+4x^2\right)+\left(3x^2-12x+12\right)+63\)
\(A=x^2\left(x^2-4x+4\right)+3\left(x^2-4x+4\right)+63\)
\(A=\left(x^2+3\right)\left(x-2\right)^2+63\ge63\)
\(A_{min}=63\) khi \(x=2\)
29 tháng 11 2023
\(B=\dfrac{x^4+2016x^2+4028}{x^2+2}\)
\(=\dfrac{x^4+2x^2+2014x^2+4028}{x^2+2}\)
\(=x^2+2014>=2014\forall x\)
Dấu '=' xảy ra khi x=0
31 tháng 10 2021
đặt biểu thức là A. Ta có:
A=x2 - 4xy + 5y2 - 2y + 28
= (x2-4xy+4y2) + (y2-2y +1)+27
=(x-2y)2 + (y-1)2 + 27
vì (x-2y)2 ≥ 0; (y-1)2 ≥ 0 ⇔ A ≥ 27
⇔\(\left[\begin{array}{} (x-2y)^2=0\\ (y-1)^2 =0 \end{array} \right.\) ⇔\(\left[\begin{array}{} x=2\\ y=1\end{array} \right.\)
Vậy, Min A=27 khi x=2; y=1
MN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 10 2023
Lời giải:
$A=(x^2+4y^2+4xy)+x^2+5-8x-12y$
$=(x+2y)^2-6(x+2y)+x^2+5-2x$
$=(x+2y)^2-6(x+2y)+9+(x^2-2x+1)-5$
$=(x+2y-3)^2+(x-1)^2-5\geq 0+0-5=-5$
Vậy $A_{\min}=-5$. Giá trị này đạt được khi $x+2y-3=x-1=0$
$\Leftrightarrow x=1; y=1$