Chứng minh rằng:
\(\sqrt{c.\left(a-c\right)}+\sqrt{c.\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\) với a>0, b>0, c>0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 1 2019
1) Áp dụng BĐT bun-hi-a-cốp-xki ta có:
\(\left(a+d\right)\left(b+c\right)\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\)( vì a,b,c,d dương )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
I
1
VT
6 tháng 8 2018
Ta có BĐT \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2\le\left(a+d\right)\left(b+c\right)\Leftrightarrow ab+cd+2\sqrt{abcd}\le ab+ac+bd+dc\)
\(\Leftrightarrow ac+bd\ge2\sqrt{abcd}\) (luôn đúng theo AM-GM)
p/s: mà cái BĐT bn cần chứng minh đó chính là BĐT Bunyakovsky đấy ^.^
26 tháng 7 2018
Áp dụng bất đẳng thức cô - si cho 2 số không âm ta có :
\(\sqrt{\dfrac{c\left(a-c\right)}{ab}}+\sqrt{\dfrac{c\left(b-c\right)}{ab}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{b}+\dfrac{a-c}{a}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{b-c}{b}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{c\left(a-c\right)}}{\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{c\left(b-c\right)}}{\sqrt{ab}}\le1\)
\(\Rightarrow\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\left(đpcm\right)\)
HP
15 tháng 12 2020
\(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\le\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}\)
\(\Leftrightarrow ab+cd+2\sqrt{abcd}\le ab+bc+cd+da\)
\(\Leftrightarrow bc+da\ge2\sqrt{abcd}\)
\(\Leftrightarrow bc+da-2\sqrt{abcd}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{bc}-\sqrt{da}\right)^2\ge0\) đúng \(\forall a,b,c,d>0\)
NH
1
ML
12 tháng 6 2016
+Chứng minh bất đẳng thức: \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
Nó đúng vì tương đương với \(\left(ay-bx\right)^2\ge0\)
Áp dụng: \(VT^2=\left(\sqrt{c}.\sqrt{a-c}+\sqrt{b-c}.\sqrt{c}\right)^2\le\left(c+b-c\right)\left(a-c+c\right)=ab\)
\(\Rightarrow VT\le\sqrt{ab}\)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki :
\(\sqrt{c}\cdot\sqrt{a-c}+\sqrt{c}\cdot\sqrt{b-c}\le\sqrt{\left[\left(\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{a-c}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{b-c}\right)^2\right]}\)
\(=\sqrt{\left(c+a-c\right)\left(c+b-c\right)}=\sqrt{ab}\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{c}{a-c}=\frac{c}{b-c}\Leftrightarrow a-c=b-c\Leftrightarrow a=b\)
học giỏi ghê >>