cho a,b,c là các số thực thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=a+2b+3c=14\) . tính gt của biểu thức T = abc.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PT
1
PT
6 tháng 12 2018
Áp dụng bđt Bu-nhi-a: (a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2
⇔(a2+b2+c2).14≥142⇔(a2+b2+c2).14≥142( do a+2b+3c=14a+2b+3c=14(gt)).
mà a2+b2+c2=14 nên xuất hiện dấu bằng của bđt
từ đó tính đc a,b,c...
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 3 2022
Đặt \(\left(a;2b;3c\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=3\)
\(Q=\dfrac{x+1}{1+y^2}+\dfrac{y+1}{1+z^2}+\dfrac{z+1}{1+x^2}\)
Ta có:
\(\dfrac{x+1}{1+y^2}=x+1-\dfrac{\left(x+1\right)y^2}{1+y^2}\ge x+1-\dfrac{\left(x+1\right)y^2}{2y}=x+1-\dfrac{\left(x+1\right)y}{2}\)
Tương tự:
\(\dfrac{y+1}{1+z^2}\ge y+1-\dfrac{\left(y+1\right)z}{2}\) ; \(\dfrac{z+1}{1+x^2}\ge z+1-\dfrac{\left(z+1\right)x}{2}\)
Cộng vế:
\(Q\ge\dfrac{x+y+z}{2}+3-\dfrac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\)
\(Q\ge\dfrac{x+y+z}{2}+3-\dfrac{1}{6}\left(x+y+z\right)^2=\dfrac{3}{2}+3-\dfrac{9}{6}=3\)
\(Q_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}\right)\)
YN
8 tháng 2 2023
Theo đề ra, ta có:
\(a^2+b^2+c^2\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)
Theo BĐT Cô-si:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^3+ab^2\ge2a^2b\\b^3+bc^2\ge2b^2c\\c^3+ca^2\ge2c^2a\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
Do vậy \(M\ge14\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{3\left(ab+bc+ac\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
Ta đặt \(a^2+b^2+c^2=k\)
Luôn có \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)
Vì thế nên \(k\ge\dfrac{1}{3}\)
Khi đấy:
\(M\ge14k+\dfrac{3\left(1-k\right)}{2k}=\dfrac{k}{2}+\dfrac{27k}{2}+\dfrac{3}{2k}-\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}+2\sqrt{\dfrac{27k}{2}.\dfrac{3}{2k}}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{23}{3}\)
\(\Rightarrow Min_M=\dfrac{23}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\).
CM
29 tháng 11 2018
Đáp án B
Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối và bất đẳng thức BCS, ta có kết quả sau:
2 a + b - 2 c + 7 = 2 a + 1 + b - 2 - 2 c + 11 ≤ 2 a - 1 + b - 2 - 2 c + 11 ≤ a - 1 2 + b - 2 2 + c 2 2 2 + 1 2 + - 2 2 + 11 = 20
Cách 2: phương pháp hình học.
Trong không gian Oxyz, gọi mặt cầu (S) có tâm I(1;2;0), bán kính R=3. Khi đó:
Bài toán đã cho trở thành:
Tìm M ∈ ( S ) sao cho d(M;(P)) lớn nhất
Gọi △ là đường thẳng qua I và vuông góc (P)
Phân tích: Khi quan sát 2 cách giải, đối với giáo viên ta sẽ dễ chọn Cách 1 vì ngắn gọn và tiết kiệm thời gian. Tuy nhiên học sinh không nhiều em đã từng được tiếp cận bất đẳng thức BCS. Đối với Cách 2, về mặt trình bày có thể dài hơi, nhiều tính toán hơn nhưng đó chỉ là những bước tính toán khá cơ bản, một học sinh khá nếu nhận ra ý đồ tác giả thì việc giải bài toán cũng không mất quá nhiều thời gian. Bài toán sẽ dễ hơn nếu đề bài chỉ yêu cầu tìm Min hoặc Max của biểu thức 2 a + b - 2 c + 7
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2+c^2=14\\a+2b+3c=14\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2+c^2=14\left(1\right)\\2a+4b+6c=28\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy \(\left(1\right)-\left(2\right)\Rightarrow a^2-2a+b^2-4b+c^2-6c=-14\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-4b+4\right)+\left(c^2-6c+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-2\right)^2+\left(c-3\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-2\right)^2=0\\\left(c-3\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow T=abc=1.2.3=6\)
Vậy \(T=6\)