Cho \(a\in Z\)CMR \(a^5-a⋮30\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 9 2018
Ta có : \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=a\left(a^2-1\right)\left(a^2-4+5\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left[\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5\right]\)
\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a^2-1\right)\)
Đến đây bạn lập luận đi !
DL
1
4 tháng 8 2019
Ta thấy : \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right).\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
Ta có :\(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)là tích 5 số tự nhiên liên tiếp :
\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)\(⋮\)\(5\)và cũng \(⋮\)\(6\)( cũng là 3 số tự nhiên liên tiếp )
\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)\(⋮\)\(30\)\(\left(1\right)\)
Ta lại có : \(5\)\(⋮\)\(5\)và \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(6\)
\(\Rightarrow5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(30\)\(\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(30\)
Hay \(a^5-a\)\(⋮\)\(30\)
Tương tự \(b^5-b\)và \(c^5-c\)cũng chia hết cho 30
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5-\left(a+b+c\right)\)\(⋮\)\(30\)
Mà \(a+b+c\)\(⋮\)\(30\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5\)\(⋮\)\(30\)\(\left(đpcm\right)\)
BB
0
KT
8 tháng 8 2018
\(P=a^5-a\)
\(=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)\)
\(=5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)
Nhân thấy \(5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\); \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮3!=6\)
=> \(5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮30\)
\(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮5!\)
=> \(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮30\)
Vậy P chia hết cho 30
8 tháng 8 2018
\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+1\right)\)
Tự cm tiếp
NM
1
28 tháng 7 2015
a5 - n = a(a4 - 1 )= a(a - 1)(a + 1)(a2 +1)
Xét a(a-1)là 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2
(n+1)n(n-1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3
Mà (2;3) = 1 => chia hết cho 6
Lại xét :
a = 5k => tích trên chia hết cho 5
a = 5k+1 => a - 1 = 5k chia hết cho 5
a = 5k+2 => a2 + 1 = (5k + 2)2 + 1 = 25k2 + 5 chia hết cho 5
a = 5k+3 => a2 + 1 = (5k + 3)2 + 1 = 25k2 + 10 chia hết cho 5
a = 5k+4 => a + 1 = 5k + 5 chia hết cho 5
Mà (6; 5) = 1.
Vậy a5 - a chia hết cho 30 với mọi a \(\in\) Z
MT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 10
Lời giải:
$A=a^5b-ab^5=ab(a^4-b^4)=ab(a^2-b^2)(a^2+b^2)$
Nếu $a,b$ khác tính chẵn lẻ thì hiển nhiên 1 trong 2 số là số chẵn,
$\Rightarrow ab\vdots 2\Rightarrow A\vdots 2$
Nếu $a,b$ cùng tính chẵn lẻ thì $a^2-b^2\vdots 2$
$\Rightarrow A\vdots 2$
Vậy tóm lại $A\vdots 2(1)$
Lại có:
Nếu ít nhất 1 trong 2 số $a,b$ chia hết cho 3 thì hiển nhiên $A\vdots 3$.
Nếu cả 2 số $a,b$ đều không chia hết cho 3. Ta biết 1 scp khi chia 3 dư 0 hoặc 1. Mà $a,b$ không chia hết cho 3 nên $a^2,b^2$ chia 3 dư 1.
$\Rightarrow a^2-b^2\equiv 1-1\equiv 0\pmod 3$
$\Rightarrow A\vdots 3$
Vậy $A\vdots 3(2)$
Xét tính chia hết cho 5
Nếu 1 trong 2 số $a,b$ chia hết cho 5 thì hiển nhiên $A\vdots 5$
Nếu cả 2 số đều không chia hết cho 5.
Ta biết 1 scp khi chia 5 dư 0,1,4. Vì $a,b$ không chia hết cho 5 nên $a^2,b^2$ chia 5 dư 1 hoặc 4.
TH $a^2,b^2$ cùng dư 1 hoặc cùng dư 4 khi chia 5 thì $a^2-b^2\vdots 5\Rightarrow A\vdots 5$
TH $a^2,b^2$ khác dư, tức là 1 số chia 5 dư 1 còn 1 số chia 5 dư 4
$\Rightarrow a^2+b^2\equiv 1+4\equiv 5\equiv 0\pmod 5$
$\Rightarrow A\vdots 5$
Vậy tóm lại $A\vdots 5(3)$
Từ $(1); (2); (3)$ mà $2,3,5$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên $A\vdots (2.3.5)$ hay $A\vdots 30$
NN
0
TH
1
14 tháng 3 2017
Vì a+b+c=0 nên
\(a^5+b^5+c^5=a^5+b^5+c^5-a-b-c\)
= \(a\left(a^4-1\right)+b\left(b^4-1\right)+c\left(c^4-1\right)\)
Lại có :
\(a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)= \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
= \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)
= \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)+5a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)
Vì : \(a\left(a+1\right)\) là tích của 2 số thực liên tiếp nên chia hết cho 3
\(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)là tích của 3 số thực liên tiếp nên chia hết cho 3
\(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)\)là tích của 5 số thực liên tiếp nên chia hết cho 5
Mà (2,3,5) = 1 nên \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)\)chia hết cho 2.3.5=30
Suy ra \(a^5-a\) chia hết cho 30
Cmtt ta được \(b^5-b\) và \(c^5-c\) chia hết cho 30
Suy ra \(a^5+b^5+c^5-a-b-c\) chia hết cho 30 hay
\(a^5+b^5+c^5\) chia hết cho 30 khi a+b+c = 0
\(a^5-a\)
\(=a\left(a^4-1\right)\)
\(=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=a\left(a^2-1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=a\left(a^2-1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a^2-1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)
Số hạng 1 là tích của 5 thừa số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 2,3 và 5
\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮30\)
Số hàng 2 có a - 1, a và a + 1 là 3 số nguyên liên tiếp \(\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮6\Rightarrow5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮30\)
Vậy \(a\in Z\)thì \(a^5-a⋮30\)