Cho a>b>0. So sánh
A=\(\frac{1+a+a^2+...+a^{n-1}}{1+a+a^2+...+a^n}\)
B=\(\frac{1+b+b^2+...+b^{n-1}}{1+b+b^2+...+b^n}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ML
8 tháng 8 2016
Áp dụng hằng đẳng thức \(a^n-1=\left(a-1\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}+....+a^2+a+1\right)\)
để thu gọn biểu thức rồi lập hiệu A - B để so sánh
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 9 2020
a/
\(VT\ge\frac{\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2}{a+b}+\frac{\frac{1}{2}\left(b+c\right)^2}{b+c}+\frac{\frac{1}{2}\left(c+a\right)^2}{c+a}=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
b/ Ta có: \(x^4+y^4\ge\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\left(y^2+y^2\right)\ge xy\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{a+bc\left(b^2+c^2\right)}+\frac{1}{b+ca\left(a^2+c^2\right)}+\frac{1}{c+ab\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT\le\frac{1}{a+\frac{1}{a}\left(b^2+c^2\right)}+\frac{1}{b+\frac{1}{b}\left(a^2+c^2\right)}+\frac{1}{c+\frac{1}{c}\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT\le\frac{a}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2}\)
\(VT\le\frac{a+b+c}{\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{a+b+c}\le\frac{3}{3\sqrt[3]{abc}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(A=\frac{1+a+a^2+...+a^{n-1}}{1+a+a^2+...+a^n}=1+\frac{1}{a^n}\)
\(B=\frac{1+b+b^2+...+b^{n-1}}{1+b+b^2+...+b^n}=1+\frac{1}{b^n}\)
Vì \(a>b\) nên \(1+\frac{1}{a^n}< 1+\frac{1}{b^n}\)
Vậy \(A< B\)
Chúc bạn học tốt ~