Cho hình thang ABCD(AB//CD). Gọi M,N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC, BD.
a) Chứng minh 4 điểm M,N,P,Q nằm trên một đường thẳng
b) Tính MN,PQ biết các cạn đáy của hình thang AB=a, CD=b (a>b)
c) Chứng minh rằng nếu MP=PQ=QN thì a=2b
Xét hình thang ABCD(AB//CD) có : NB=NC; MD=MA
⇒⇒ MN là đường trung bình hình thang ABCD
⇒⇒ MN//AB \(^{\left(1\right)}\)
Ta có: △BCA có NB=NC; PC=PA
⇒ NP là đường trung bình của △BCA
⇒ NP//CD
⇒ NP//AB (vì AB//CD) \(^{\left(2\right)}\)
Ta có: △CDA có MD=MA; PC=PA
⇒ MP là đường trung bình của △CDA
⇒ MP//CD ⇒ MP//AB \(^{\left(3\right)}\)
Từ(1); (2) ;(3)⇒ M,N,P thẳng hàng(*)
Ta có: △CDB có QD=QB; NC=NB
⇒ NQ là đường trung bình của △CDB
⇒ NQ//CD ⇒ NQ//AB(4)
Ta có: △ADB có QD=QB ; MD=MA
⇒ MQ là đường trung bình của △ADB
⇒ MQ//CD ⇒ MQ//AB(4)
Từ(1), (3), (4) ⇒ N,Q,M thẳng hàng (**)
Từ(*); (**) ⇒⇒ N,Q,P,M thẳng hàng
b. Ta có: NM là đường trung bình hình thang ABCD
\(\Rightarrow MN=\dfrac{x+y}{2}\)
Ta có NQ và MP là đưởng trung bình của △CDB và △CDA
\(\Rightarrow NQ=MP=\dfrac{y}{2}\)
Ta lại có:\(NQ+QP+PM=\dfrac{x+y}{2}\)
Hay \(y+QP=\dfrac{x+y}{2}\)
⇔ \(y+QP=\dfrac{x+y}{2}-y=\dfrac{x+y-2y}{2}=\dfrac{x-y}{2}\)
⇒ \(MN+PQ=\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x-y}{2}=\dfrac{x+y+x-y}{2}=\dfrac{2x}{2}=x\)
c) Ta có: MP=PQ=QN
⇔\(\dfrac{y}{2}=\dfrac{x-y}{2}\)
⇔\(\dfrac{y}{2}=\dfrac{x-y+y}{4}\) (Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
\(\Leftrightarrow\dfrac{y}{2}=\dfrac{x}{4}\Leftrightarrow4y=2x\Leftrightarrow x=2y\)