Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện: \(\hept{\begin{cases}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2=6\\xyz=-1\end{cases}}\)
Tính giá trị biểu thức \(P=\frac{1}{xy\left(1-z\right)-z}+\frac{1}{yz\left(1-x\right)-x}+\frac{1}{zx\left(1-y\right)-y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 4 2019
\(\frac{27}{3\sqrt{3x-2}+6}+\frac{8+4x-x^2}{x\sqrt{6-x}+4}\ge\frac{3}{2}+\frac{2x-14}{3\sqrt{6-x}+2}>0\)
Nên phần còn lại vô nghiệm
2 tháng 1 2017
Xét với \(0< x,y,z< 1\) thì \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}>1\) (vô lí)
Xét \(x,y,z\ge1\) , đặt \(\hept{\begin{cases}x=a^3\\y=b^3\\z=c^3\end{cases}}\) (\(a,b,c\ge1\))
Ta có \(1=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}\ge\frac{3}{abc+1}\) (cái này chắc you cm đc)
\(\Rightarrow abc\ge2\Rightarrow a^3.b^3.c^3\ge8\) hay \(xyz\ge8\) (1)
Áp dụng BĐT AM-GM : \(1=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{9}{x+y+z+3}\Rightarrow x+y+z\ge6\) (2)
Áp dụng BĐT Cauchy : \(1=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\ge27\) (3)
Nhân (1), (2), (3) theo vế : \(xyz\left(x+y+z\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\ge1296\)
Đẳng thức xảy ra khi xảy ra đồng thời (1), (2), (3) , tức là x = y = z = 2
Vậy tập nghiệm của hệ : \(\left(x,y,z\right)=\left(2;2;2\right)\)
T
20 tháng 10 2020
1111111111111111111
\(VT=\Sigma\frac{xy+yz+zx}{xy}=3+\Sigma\frac{z\left(x+y\right)}{xy}\)
Đến đây để ý \(\frac{1}{2}\left[\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{y\left(z+x\right)}{zx}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{x^2}}\left(\text{AM - GM}\right)\)
Là xong.
25 tháng 5 2018
(x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)
→ x²+y²+z²=(1/2)²-2.(-2)=17/4
(x+y+z)³=x³+y³+z³+3(x+y)(y+z)(z+x)
=x³+y³+z³+3(x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz
→ x³+y³+z³=(1/2)³+3.(-1/2)-3.1/2.(-2)=13/8
(xy+yz+zx)²=x²y²+y²z²+z²x²+2xyz(x+y+z)
→ x²y²+y²z²+z²x²=(-2)²-2.1/2.(-1/2)=9/2
(x²+y²+z²)(x³+y³+z³)=x^5+y^5+z^5+(x²y²+y²z²+z²x²)(x+y+z)-xyz(xy+yz+zx)
→ x^5+y^5+z^5=17/4.13/8+(-2).(-1/2)-9/2.1/2=181/32
\(P=\frac{1}{xy-xyz-z}+\frac{1}{yz-xyz-x}+\frac{1}{xz-xzy-y}\) .Do xyz=-z =>-xyz=1 và x+y+z=0 . Thế vào P ta được \(P=\frac{1}{xy+1+x+y}+\frac{1}{yz+1+y+z}+\frac{1}{xz+1+x+z}\)\(P=\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{1}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}\) =\(\frac{z+1+x+1+y+1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
\(P=\frac{3}{xyz+z+xz+yz+xy+1+x+y}\) =\(\frac{3}{xy+yz+xz}\) (Do x+y+z=0; xyz=-1)
x+y+z=0 => (x+y+z)2=0 => x2+y2+z2 +2(xy+yz+xz)=0 => 2(xy+yz+xz)=-6 => xy+yz+xz=-3 Thế vào P ta được :
\(P=\frac{3}{-3}=-1\) . Chúc bạn học tốt
Hình như bạn ghi thiếu đề r . Còn xyz=-1 nữa