Cho hình thang ABCD. E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD. CMR đường thẳng EF đi qua trung điểm của AB, CD
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
-Sửa đề: F là giao của AC và BD.
EF cắt AB, CD lần lượt tại H,K.
\(\dfrac{AH}{BK}=\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{AB}{DC}=\dfrac{BE}{CE}=\dfrac{BH}{CK}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AH}{BK}=\dfrac{BH}{CK}=\dfrac{AB}{DC}\left(1\right)\)
\(\dfrac{AH}{CK}=\dfrac{AF}{CF}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{BF}{DF}=\dfrac{BH}{DK}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AH}{CK}=\dfrac{BH}{DK}=\dfrac{AB}{CD}\left(2\right)\)
-Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{AH}{CK}=\dfrac{AH}{BK}=\dfrac{BH}{CK}=\dfrac{BH}{DK}\)
\(\Rightarrow AH=BH;CK=DK\)
\(\Rightarrow\)H là trung điểm AB, K là trung điểm CD.
a: Xét ΔEAB và ΔEMD có
góc EAB=góc EMD
góc AEB=góc MED
=>ΔEAB đồng dạng vơi ΔEMD
=>EM/EA=AB/MD=AB/MC
Xet ΔFAB và ΔFCM có
góc FAB=góc FCM
góc AFB=góc CFM
Do đó: ΔFAB đồng dạng với ΔFCM
=>FB/FM=AB/CM
=>FM/FB=CM/AB=DM/AB=ME/EA
=>EF//AB
b: Xet ΔBMC có FN//MC
nên FN/MC=BN/BC
=>FN/MD=AH/AD
Xét ΔADM có HE//DM
nên HE/DM=AH/AD
Xét ΔBDC có EN//DC
nên EN/DC=BN/BC=AH/AD
=>(EF+FN)/(2DM)=AH/AD=HE/DM=FN/MD
=>(EF+FN)/2=HE=FN
=>EF+FN=2FN
=>FN=EF=HE
Gọi I là trung điểm của AB.
Giả sử đường thẳng IE cắt CD tại K1
Có: \(\frac{IA}{K_1D}=\frac{EI}{EK_1}=\frac{IB}{K_1C}\) (hệ quả định lý Ta lét)
mà IA = IB (gt) nên K1D = K1C, do đó K1 là trung điểm CD
Giả sử đường thẳng IF cắt CD tại K2
Có: \(\frac{IA}{K_2C}=\frac{FI}{FK_2}=\frac{IB}{K_2D}\) (hệ quả định lý Ta lét)
mà IA = IB (gt) nên K2C = K2D, do đó K2 là trung điểm CD
do IE và IF cùng đi qua trung điểm K của CD nên hai đường thẳng này trùng nhau
Vậy ta có đpcm
a: Xét ΔEAB và ΔECM có
\(\widehat{EAB}=\widehat{ECM}\)(hai góc so le trong, AB//CM)
\(\widehat{AEB}=\widehat{CEM}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔEAB đồng dạng với ΔECM
=>\(\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{EB}{EM}=\dfrac{AB}{CM}\)
=>\(\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{AB}{CM}=AB:\dfrac{CD}{2}=2\cdot\dfrac{BA}{CD}\)
b: Xét ΔFAB và ΔFMD có
\(\widehat{FAB}=\widehat{FMD}\)(hai góc so le trong, AB//DM)
\(\widehat{AFB}=\widehat{MFD}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔFAB đồng dạng với ΔFMD
=>\(\dfrac{FA}{FM}=\dfrac{FB}{FD}=\dfrac{AB}{MD}\)
Ta có: \(\dfrac{FA}{FM}=\dfrac{AB}{MD}\)
\(\dfrac{EB}{EM}=\dfrac{AB}{CM}\)
mà MD=MC
nên \(\dfrac{FA}{FM}=\dfrac{EB}{EM}\)
=>\(\dfrac{MF}{FA}=\dfrac{ME}{EB}\)
Xét ΔMAB có \(\dfrac{MF}{FA}=\dfrac{ME}{EB}\)
nên FE//AB
Ta có: FE//AB
AB//CD
Do đó: FE//CD
c: Xét ΔADM có HF//DM
nên \(\dfrac{HF}{DM}=\dfrac{AF}{AM}\)
Xét ΔBDM có FE//DM
nên \(\dfrac{FE}{DM}=\dfrac{BE}{BM}\)
Xét ΔBMC có EG//MC
nên \(\dfrac{EG}{MC}=\dfrac{BE}{BM}\)
mà \(\dfrac{FE}{DM}=\dfrac{BE}{BM}\)
và MC=MD
nên FE=EG
Ta có: \(\dfrac{AF}{FM}=\dfrac{BE}{EM}\)
=>\(\dfrac{FM}{FA}=\dfrac{EM}{BE}\)
=>\(\dfrac{FM}{FA}+1=\dfrac{EM}{BE}+1\)
=>\(\dfrac{FM+FA}{FA}=\dfrac{EM+BE}{BE}\)
=>\(\dfrac{AM}{FA}=\dfrac{BM}{BE}\)
=>\(\dfrac{AF}{AM}=\dfrac{BE}{BM}\)
mà \(\dfrac{HF}{DM}=\dfrac{AF}{AM}\) và \(\dfrac{BE}{BM}=\dfrac{FE}{DM}\)
nên HF=FE
mà FE=EG
nên HF=FE=EG
cách 2, câu b/
Gọi giao của AC và BD là I, chứng minh được DI= CI
mà ED =CF
=> IE= IF
mặt khác, tam giác IEF và tam giác IDC cùng cân tại I nên EF // CD
cách 1, câu b/
Gọi N là giao EF và BC
dùng đường trung bình và tiên đề Euclid, chứng minh được E,F,N thẳng
>>> đpcm