Cho \(x+y+z=1\)
CMR: \(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le\sqrt{21}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AV
1
WR
4 tháng 7 2019
\(\left(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(4x+1+4y+1+4z+1\right)=21.\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le\sqrt{21}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xra :
\(\frac{4x+1}{1}=\frac{4y+1}{1}=\frac{4z+1}{1}\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
23 tháng 12 2017
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có :
\(\left(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(4x+1+4y+1+4z+1\right)\)
\(=3.\left[4\left(x+y+z\right)+3\right]=3.7=21\)
\(\Rightarrow\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le\sqrt{21}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2021
\(\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}\le\sqrt{4x+\dfrac{1}{2}\left(2^2+x\right)+1}=\sqrt{\dfrac{9x}{2}+3}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{21}}.\sqrt{21}.\sqrt{\dfrac{9x}{2}+3}\le\dfrac{1}{2\sqrt{21}}\left(21+\dfrac{9x}{2}+3\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{21}}\left(\dfrac{9x}{2}+24\right)\)
Tương tự và cộng lại:
\(A\le\dfrac{1}{2\sqrt{21}}\left(\dfrac{9}{2}\left(x+y+z\right)+72\right)=3\sqrt{21}\)
\(A_{max}=3\sqrt{21}\) khi \(x=y=z=4\)
XO
30 tháng 12 2021
\(A=1\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}+1.\sqrt{4y+2\sqrt{y}+1}+1\sqrt{4z+2\sqrt{z}+1}\)
\(\le\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(4\left(x+y+z\right)+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+3\right)}\)
\(=\sqrt{3.\left[51+\dfrac{4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}{2}\right]}\)
\(\le\sqrt{3.\left[51+\dfrac{x+y+z+12}{2}\right]}\)
\(=\sqrt{189}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 4
28 tháng 3 2019
\(A=\sum\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}\)
\(Max_A=+\infty\)
\("="x=y=z=+\infty\)
15 tháng 1 2020
Các biểu thức ở trong căn đều đưa được về bình phương
\(\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}=\sqrt{\left(2\sqrt{x}+1\right)^2}=\left|2\sqrt{x}+1\right|=2\sqrt{x}+1\)
Tương tự với hai căn còn lại ta sẽ có biểu thức đề cho tương đương với
\(2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+3\)
26 tháng 10 2016
Điều kiện \(x,y,z\ge\frac{1}{4}\)
Cộng các phương trình trong hệ được :
\(2\left(x+y+z\right)=\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\)
\(\Leftrightarrow4\left(x+y+z\right)=2\sqrt{4x-1}+2\sqrt{4y-1}+2\sqrt{4z-1}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4z-1}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{4x-1}-1=0\\\sqrt{4y-1}-1=0\\\sqrt{4z-1}-1=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)
Từ đó thay vào yêu cầu đề bài để tính.
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki vào bài toán , ta có :
\(\left(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(4x+4y+4z+3\right)=3.7=21\)
\(\Rightarrow\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le\sqrt{21}\)
Đẳng thức xảy ra khi : \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)