Cho a,b,c la cac so nguyen chung minh\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DM
15 tháng 6 2017
Lần sau ghi dấu ra xíu nhé :v
a) Đặt \(\sqrt{x}=a\Rightarrow B=\left(\dfrac{a}{a+4}+\dfrac{4}{a-4}\right):\dfrac{a^2+16}{a+2}\)
Quy đồng,rút gọn : \(B=\dfrac{a+2}{a^2-16}\Rightarrow B=\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-16}\)
b) \(B\left(A-1\right)=\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-16}\left(\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}-1\right)=\dfrac{2}{x-16}\)
x - 16 là ước của 2 => \(x\in\left\{14;15;17;18\right\}\)
mới làm quen toán 9 ;v có gì k rõ ae chỉ bảo nhé :))
N
5 tháng 8 2017
từ giả thiết ,ta có:\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=4\)\(\Leftrightarrow a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=1\)---> thay 1= vào ...
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 8 2017
Lời giải:
Đặt \(\left ( \sqrt{\frac{a}{b+c}},\sqrt{\frac{b}{a+c}},\sqrt{\frac{c}{a+b}} \right )=(x,y,z)\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=\frac{a}{b+c}\\ y^2=\frac{b}{a+c}\\ z^2=\frac{c}{a+b}\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}=2\)
\(\Leftrightarrow (1-\frac{1}{x^2+1})+(1-\frac{1}{y^2+1})+(1-\frac{1}{z^2+1})=1\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2}{x^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}+\frac{z^2}{z^2+1}=1\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2(x+y+z)(\star)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left ( \frac{x^2}{x^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}+\frac{z^2}{z^2+1} \right )(x^2+1+y^2+1+z^2+1)\geq (x+y+z)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+1+y^2+1+z^2+1\geq (x+y+z)^2\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+xz\leq \frac{3}{2}\)
Kết hợp với hệ quả của BĐT AM-GM :
\((xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz\geq \frac{3xyz(x+y+z)}{xy+yz+xz}\geq \frac{3xyz(x+y+z)}{\frac{3}2{}}=2xyz(x+y+z)\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{2xyz(x+y+z)}{xyz}=2(x+y+z)\)
Do đó BĐT \((\star)\) được chứng minh.
Bài toán hoàn thành. Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2022
Đặt \(\left(\sqrt{b^2+c^2};\sqrt{c^2+a^2};\sqrt{a^2+b^2}\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2}\\b^2=\dfrac{x^2+z^2-y^2}{2}\\c^2=\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT=\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2x}+\dfrac{x^2+z^2-y^2}{2y}+\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2z}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(y+z\right)^2}{4x}+\dfrac{\left(x+z\right)^2}{4y}+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4z}-\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(VT\ge\dfrac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}-\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(VT\ge\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)\)
\(VT\ge\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(b+c\right)^2}+\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(c+a\right)^2}\right)\)
\(VT\ge\dfrac{a+b+c}{\sqrt{2}}\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 8 2021
Áp dụng \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) và \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\)
\(N\ge\dfrac{a^2b}{c}+\dfrac{b^2c}{a}+\dfrac{c^2a}{b}\ge\dfrac{1}{3}\left(a\sqrt{\dfrac{b}{c}}+b\sqrt{\dfrac{c}{a}}+c\sqrt{\dfrac{a}{b}}\right)^2=3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Với a, b, c là các số nguyên dương
=> a + b > 0 ; b + c > 0 ; c + a > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a + b và c không âm, ta có:
\(\left(a+b\right)+c\ge2\sqrt[]{\left(a+b\right)c}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt[]{\left(a+b\right)c}}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt{c}\sqrt[]{\left(a+b\right)c}}{\sqrt[]{c}\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2c\sqrt[]{a+b}}{\sqrt[]{c}\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt[]{c}\left(a+b+c\right)\ge2c\sqrt[]{a+b}\)
\(\Rightarrow\sqrt[]{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\) (1)
Chứng minh tương tự \(\Rightarrow\sqrt[]{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\) (2) ;\(\sqrt[]{\dfrac{b}{a+c}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c}\) (3)
Cộng hai vế của (1), (2), (3), ta được:
\(\sqrt[]{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt[]{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt[]{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=2\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=c\\a+c=b\\b+c=a\end{matrix}\right.\)
Kết hợp với điều kiện a, b, c là các số nguyên dương => Không thể xảy ra dấu " = "
=> ĐPCM
a,b,c >0 nua nhe