Question

[Trang]

Bài 1. Cho \(\alpha\) là góc nhọn. Rút gọn biểu thức: \(A=sin^6\alpha+cos^6\alpha+3sin^2a\times cos^2\alpha\)

Bài 2. CMR: Nếu 1 \(\Delta\) có 2 cạnh là a và b, góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng đó là \(\alpha\) thì diện tích của \(\Delta\) đó bằng: \(S=\dfrac{1}{2}absin\alpha\)

Bài 3. Cho \(tan\alpha+cos\alpha=3\). Tính giá trị của biểu thức \(A=sin\alpha.cos\alpha\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1:

Ta có:

\(A=\sin ^6a+\cos ^6a+3\sin ^2a\cos ^2a\)

\(=(\sin ^2a)^3+(\cos ^2a)^3+3\sin ^2a\cos ^2a\)

\(=(\sin ^2a+\cos ^2a)(\sin ^4a-\sin ^2a\cos ^2a+\cos ^4a)+3\sin ^2a\cos ^2a\)

\(=\sin ^4a-\sin ^2a\cos ^2a+\cos ^4a+3\sin ^2a\cos ^2a\)

\(=\sin ^4a+2\sin ^2a\cos ^2a+\cos ^4a\)

\(=(\sin ^2a+\cos ^2a)^2=1^2=1\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

Xét tam giác $ABC$. Gọi cạnh $AB, AC$ là $a,b$ và góc \(\widehat{BAC}=\alpha\)

Kẻ đường cao $BH$ của tam giác $ABC$

Khi đó:

\(S=\frac{BH.AC}{2}\)

Mặt khác, theo công thức lượng giác:

\(\frac{BH}{AB}=\sin \widehat{BAC}=\sin \alpha\Rightarrow BH=\sin \alpha.AB\)

Do đó: \(S=\frac{BH.AC}{2}=\frac{\sin \alpha.AB.AC}{2}=\frac{\sin \alpha.a.b}{2}\) (đpcm)