Tìm GTLN GTNN y=\(\sqrt{5-2cos^2xsin^2x}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 8 2021
1.
\(y=\sqrt{5-2\cos ^2x\sin ^2x}=\sqrt{5-\frac{1}{2}(2\cos x\sin x)^2}=\sqrt{5-\frac{1}{2}\sin ^22x}\)
Dễ thấy:
$\sin ^22x\geq 0\Rightarrow y=\sqrt{5-\frac{1}{2}\sin ^22x}\leq \sqrt{5}$
Vậy $y_{\max}=\sqrt{5}$
$\sin ^22x\leq 1\Rightarrow y=\sqrt{5-\frac{1}{2}\sin ^22x}\geq \sqrt{5-\frac{1}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
Vậy $y_{\min}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 8 2021
2.
$y=1+\frac{1}{2}\sin 2x\cos 2x=1+\frac{1}{4}.2\sin 2x\cos 2x$
$=1+\frac{1}{4}\sin 4x$
Vì $-1\leq \sin 4x\leq 1$
$\Rightarrow \frac{5}{4}\leq 1+\frac{1}{4}\sin 4x\leq \frac{3}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{5}{4}\leq y\leq \frac{3}{4}$
Vậy $y_{\max}=\frac{5}{4}; y_{\min}=\frac{3}{4}$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 9 2020
3.
\(y=\left(3-sinx\right)\left(1-sinx\right)\ge0\)
\(\Rightarrow y_{min}=0\) khi \(sinx=1\)
\(y=sin^2x-4sinx-5+8=\left(sinx+1\right)\left(sinx-5\right)+8\le8\)
\(y_{max}=8\) khi \(sinx=-1\)
4.
\(0\le\sqrt{sinx}\le1\Rightarrow3\le y\le5\)
\(y_{min}=3\) khi \(sinx=0\)
\(y_{max}=5\) khi \(sinx=1\)
5.
Đề là \(cos^24x\) hay \(cos\left(\left(4x\right)^2\right)\)
Hai biểu thức này cho 2 kết quả khác nhau
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 9 2020
1.
\(y=\sqrt{5-\frac{1}{2}\left(2sinx.cosx\right)^2}=\sqrt{5-\frac{1}{2}sin^22x}\)
Do \(0\le sin^22x\le1\) \(\Rightarrow\frac{3\sqrt{2}}{2}\le y\le\sqrt{5}\)
\(y_{min}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\) khi \(sin^22x=1\)
\(y_{max}=\sqrt{5}\) khi \(sin2x=0\)
2.
\(y=cos^2x+2\left(2cos^2x-1\right)=5cos^2x-2\)
Do \(0\le cos^2x\le1\Rightarrow-2\le y\le3\)
\(y_{min}=-2\) khi \(cosx=0\)
\(y_{max}=3\) khi \(cos^2x=1\)
MM
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 7 2017
Theo công thức lượng giác thì \(\sin 2x=2\sin x\cos x\Rightarrow 2\sin ^2x\cos^2x=\frac{1}{2}\sin ^22x\)
Do đó ta có công thức như trên.
LD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 7 2021
\(y=\sqrt{1+2cos^2x}+\sqrt{1+3\left(1-cos^2x\right)}=\sqrt{1+2cos^2x}+\sqrt{4-3cos^2x}\)
\(y=\sqrt{2}.\sqrt{\dfrac{1}{2}+cos^2x}+\sqrt{3}.\sqrt{\dfrac{4}{3}-cos^2x}\)
\(y\le\sqrt{\left(2+3\right)\left(\dfrac{1}{2}+cos^2x+\dfrac{4}{3}-cos^2x\right)}=\dfrac{\sqrt{330}}{6}\)
\(y_{max}=\dfrac{\sqrt{330}}{6}\) khi \(cos^2x=\dfrac{7}{30}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 9 2020
d.
\(-1\le sin2x\le1\Rightarrow2\le y\le1+\sqrt{3}\)
\(y_{min}=2\) khi \(sin2x=-1\)
\(y_{max}=1+\sqrt{3}\) khi \(sin2x=1\)
e.
\(0\le sin^2x\le1\Rightarrow\frac{4}{3}\le y\le2\)
\(y_{min}=\frac{4}{3}\) khi \(sin^2x=1\)
\(y_{max}=2\) khi \(sinx=0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 9 2020
a.
\(0\le cos^2x\le1\Rightarrow2\le y\le1+\sqrt{3}\)
\(y_{min}=2\) khi \(cosx=0\)
\(y_{max}=1+\sqrt{3}\) khi \(cos^2x=1\)
b.
\(-1\le sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\le1\Rightarrow-2\le y\le4\)
\(y_{min}=-2\) khi \(sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=-1\)
\(y_{max}=4\) khi \(sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=1\)
c.
\(0\le cos^23x\le1\Rightarrow1\le y\le3\)
\(y_{min}=1\) khi \(cos^23x=1\)
\(y_{max}=3\) khi \(cos3x=0\)
NH
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 7 2019
Lời giải:
ĐKXĐ: \(x\leq \frac{3}{2}\)
Hàm số chỉ có min chứ không có max bạn nhé.
\(y=\sqrt{3-2x}+\sqrt{5-2x}\)
\(\Rightarrow y^2=3-2x+5-2x+2\sqrt{(3-2x)(5-2x)}\)
\(=8-4x+2\sqrt{(3-2x)(5-2x)}\)
Ta thấy:
Vì \(x\leq \frac{3}{2}\Rightarrow 8-4x\geq 8-4.\frac{3}{2}=2\)
\(2\sqrt{(3-2x)(5-2x)}\geq 0\) (theo tính chất căn bậc 2)
\(\Rightarrow y^2=8-4x+2\sqrt{(3-2x)(5-2x)}\geq 2\)
\(\Rightarrow y\geq \sqrt{2}\) (do $y$ không âm)
Vậy $y_{\min}=\sqrt{2}$ khi $x=\frac{3}{2}$
T
7 tháng 7 2019
Em mới học dạng này sơ sơ thôi nên không rành lắm, mọi người check giúp ạ.
ĐK x =< 3/2
Xét \(x_1< x_2\le\frac{3}{2}\)
\(y=f\left(x\right)=\sqrt{3-2x}+\sqrt{5-2x}\)
Ta có: \(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\left(\sqrt{3-2x_1}-\sqrt{3-2x_2}\right)+\left(\sqrt{5-2x_1}-\sqrt{5-2x_2}\right)>0\)(do dễ thấy(em lười viết ra quá) rằng mỗi cái ngoặc đều lớn hơn 0)
Do đó f(x1) > f(x2). Do vậy x càng tăng thì giá trị f(x) càng nhỏ hay y đạt cực tiểu tại x = 3/2. Vậy \(y_{min}=\sqrt{3-2.\frac{3}{2}}+\sqrt{5-2.\frac{3}{2}}=\sqrt{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = 3/2
Vậy...
T
1 tháng 8 2018
a) làm tương tự 2 bài mk đã giải nha.
b) \(y=2\cos^2x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+1\)
\(=1-\left(\cos2x+\sqrt{3}\sin2x\right)\)
Lại có \(-2\le\cos2x+\sqrt{3}\sin2x\le2\) \(\Rightarrow-1\le y\le3\)
c) Vì \(\left\{{}\begin{matrix}0\le\sqrt[4]{\sin x}\le1\\0\le\sqrt{\cos x}\le1\end{matrix}\right.\)
Do đó \(-1\le y\le1\)
DG
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 9 2021
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{5sin^2x+1}=a\\\sqrt{5cos^2x+1}=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1\le a;b\le\sqrt{6}\\a^2+b^2=5\left(sin^2x+cos^2x\right)+2=7\end{matrix}\right.\)
\(y=a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=\sqrt{14}\)
\(y_{max}=\sqrt{14}\) khi \(cos2x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\)
Do \(1\le a\le\sqrt{6}\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a-\sqrt{6}\right)\le0\)
\(\Rightarrow a\ge\dfrac{a^2+\sqrt[]{6}}{\sqrt{6}+1}\)
Tương tự ta có \(b\ge\dfrac{b^2+\sqrt{6}}{\sqrt{6}+1}\)
\(\Rightarrow y=a+b\ge\dfrac{a^2+b^2+2\sqrt{6}}{\sqrt{6}+1}=\dfrac{7+2\sqrt{6}}{\sqrt{6}+1}=\sqrt{6}+1\)
\(y_{min}=\sqrt{6}+1\) khi \(sin2x=0\Rightarrow x=\dfrac{k\pi}{2}\)
Lời giải:
Vì \(\cos ^2x; \sin ^2x\geq 0, \forall x\Rightarrow 5-2\cos^2x\sin ^2x\leq 5\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{5-2\cos ^2x\sin ^2x}\leq \sqrt{5}\)
Vậy \(y_{\max}=\sqrt{5}\Leftrightarrow \sin x=0\) hoặc \(\cos x=0\)
\(y=\sqrt{5-2\cos ^2x\sin ^2x}=\sqrt{5-\frac{(2\sin x\cos x)^2}{2}}\)
\(=\sqrt{5-\frac{\sin ^22x}{2}}\)
Ta thấy: \(\sin ^22x\leq 1\Rightarrow 5-\frac{\sin ^22x}{2}\geq \frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow y\geq \frac{3}{\sqrt{2}}\)
Vậy \(y_{\min}=\frac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \sin 2x=\pm 1\)