Cho a,b,c là các số thực bất kì , chứng minh rằng a^2+b^2+c^2 +1 > a + b + c .
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 3 2019
(a^2+b^2)/2>=ab
<=>(a^2+b^2)>=2ab
<=> a^2+2ab+b^2>=2ab
<=>a^2+b^2>=0(luôn đúng)
=> điều phải chứng minh.
KT
9 tháng 3 2019
Xét hiệu: \(a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu "=" xra <=> a = b
Áp dụng ta có:
a) \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)
dấu "=" xra <=> a = b = c = 1
b) \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\left(d^2+4\right)\ge4a.4b.4c.4d=256abcd\)
Dấu "=" xra <=> a = b= c = d = 2
12 tháng 2 2022
Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng mình là:
\(a^2+2\left(bc-b-c\right)a+b^2+c^2-2bc+1\ge0\)
Xét: \(f\left(a\right)=a^2+2\left(bc-b-c\right)a+b^2+c^2-2bc+1\)
Ta thấy nếu \(bc-b-c\ge0\)khi đó ta luôn có \(f\left(a\right)\ge0\)hay:
\(a^2+2\left(bc-b-c\right)a+b^2+c^2-2bc+1\ge0\)
Bây giờ xét trường hợp sau: \(bc-b-c\le0\)
Khi đó ta có:\(\Delta_a=\left(bc-b-c\right)^2-\left(b^2+c^2-2bc+1\right)\)
Mà số hạng từ bậc 2 là số dương để \(f\left(a\right)\ge0\)thì ta phải chỉ ra được:
\(\Delta_a=\left(bc-b-c\right)^2-\left(b^2+c^2-2bc+1\right)\le0\)
Hay \(bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)-1\le0\)
Để ý \(bc-b-c\le0\)ta được \(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le1\)lúc này khả năng xảy ra các trường hợp sau:
- Cả \(\left(b-1\right);\left(c-1\right)\)cùng nhỏ hơn 1 hay cả b,c nhỏ hơn 2 và theo bất đẳng thức Cô si ta được:
\(b\left(2-b\right)\le\frac{\left(b+2-b\right)^2}{4}=1;c\left(2-c\right)\le\frac{\left(c+2-c\right)^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le1\)nên ta có \(bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)-1\le0\)
Trong 2 số \(\left(b-1\right);\left(c-1\right)\)có một số lớn hơn 1 và một số nhỏ hơn 1 khi đó trong b,c có số lớn hơn hoặc nhỏ hơn 2
\(\Rightarrow bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le0\Leftrightarrow bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)-1\le0\)
Vậy cả 2 khả năng đều cho \(\Delta_a\le0\)nên bất đẳng thức đã được chứng minh. Bài toán đã được chứng mình xong.
\(a^2+b^2+c^2+1>a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+1-a-b-c>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}>0\)( luôn đúng )
Vậy ...
Ta có: \(a^2+b^2+c^2+1>a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+1-a-b-c>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2.a.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2-2.b.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2-2.c.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}>0\)
Ta thấy: (a-1/2)2 lớn hơn hoặc bằng 0 (với mọi a)
(b-1/2)2 lớn hơn hoặc bằng 0 (với mọi b)
(c-1/2)2 lớn hơn hoặc bằng 0 (với mọi c)
1/4 > 0
Nên BĐT luôn đúng
=> ĐPCM