Cho x,y >= 0 và x + y = 2
CMR: \(2\le\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\le6\)
(Nếu sai đề nhớ sửa)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 5 2021
Đề bài sai, sửa đề: \(2\le\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\le\sqrt{6}\)
Đặt \(P=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}>0\)
\(\Rightarrow P^2=x^2+y^2+xy+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)xy}\ge x^2+y^2+xy+2\sqrt{2xy.xy}\)
\(\Rightarrow P^2\ge x^2+y^2+\left(2\sqrt{2}+1\right)xy\ge x^2+y^2+2xy=4\)
\(\Rightarrow P\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(2;0\right);\left(0;2\right)\)
Lại có: \(P^2=x^2+y^2+xy+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)xy}=x^2+y^2+xy+\sqrt{4xy.\left(x^2+y^2\right)}\)
\(\Rightarrow P^2\le x^2+y^2+xy+\dfrac{1}{2}\left(4xy+x^2+y^2\right)=\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)^2=6\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3-\sqrt{3}}{3};\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}\right)\)
18 tháng 8 2019
ĐK: \(x\ge-1;y\ge0\)
\(x+y+\sqrt{8y}+5=4\sqrt{x+1}+\sqrt{2}\sqrt{xy+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+1-4\sqrt{x+1}+4\right)-\left(\sqrt{x+1}\sqrt{2y}-2\sqrt{2y}\right)+y=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt{x+1}-2\right)^2-\sqrt{2y}\left(\sqrt{x+1}-2\right)+y=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt{x+1}-2\right)^2-2\sqrt{\frac{y}{2}}\left(\sqrt{x+1}-2\right)+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt{x+1}-\frac{y}{2}-2\right)^2+\frac{y}{2}=0\)
Có: \(\left(\sqrt{x+1}-\frac{y}{2}-2\right)^2+\frac{y}{2}\ge0\) ( do \(y\ge0\) )
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+1}-\frac{y}{2}-2=0\\\frac{y}{2}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=0\end{cases}}\)
...
18 tháng 8 2019
\(\frac{1}{x}+\frac{25}{y}\ge\frac{\left(1+5\right)^2}{x+y}\ge\frac{6^2}{6}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x+y=6\) và \(\frac{1}{x}=\frac{5}{y}=\frac{1+5}{x+y}=\frac{6}{6}=1\)\(\Rightarrow\)\(x=1;y=5\)
12 tháng 3 2020
Uầy đề sai đâu ta
\(A=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\frac{xz}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(A\le\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}+\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{2020}{3}}\)
KK
12 tháng 3 2020
Cứ tưởng áp dụng Cô si cho 2 tổng ở mẫu thôi :) quên là còn áp dụng như này :) nhưng bạn còn sai 1 chỗ nhé
\(\sqrt{a.b}\le\frac{a}{2}+\frac{b}{2}.\) MaxA =3/2 :v
BH
6 tháng 8 2019
Áp dụng cô si
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{cb}}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{\frac{1}{ac}}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=0\)
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}\le\frac{x+1}{2}\\\sqrt{y-1}\le\frac{y-1+1}{2}\\\sqrt{z-2}\le\frac{z-2+1}{2}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}\le\frac{x+1+y-1+1+z-2+1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}\le\frac{x+y+z}{2}\)
\("="\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)
18 tháng 10 2020
Sửa ĐK của c) : a, b, c > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\)
\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{\frac{1}{bc}}=\frac{2}{\sqrt{bc}}\)
\(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{1}{ca}}=\frac{2}{\sqrt{ca}}\)
Cộng các vế tương ứng
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}+\frac{2}{\sqrt{bc}}+\frac{2}{\sqrt{ca}}\)
=> \(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\)
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{\frac{xy}{xy+z}}=\sqrt{\frac{xy}{xy+z(x+y+z)}}=\sqrt{\frac{xy}{(z+x)(z+y)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{z+y}\right)\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại suy ra:
\(\sum \sqrt{\frac{xy}{xy+z}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+z}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{x+y}{x+y}\right)=\frac{3}{2}\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$