\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
CMR : \(\frac{\left(a+b-c\right)^3}{a}=\frac{\left(b+c-d\right)^3}{d}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng tính chất.......
a/b=b/c=c/d=a+b+c/b+c+d suy ra (a/b)^3=(b/c)^3=(c/d)^3=(a+b+c)^3/(b+c+d)^3(1)
a/b= b/c=c/dsuy ra a^3/b^3=b^3/c^3=c^3/d^3(2)
Áp dụng tính chất .....
a^3/b^3=b^3/c^3=c^3/d^3=a^3+b^3+c^3/b^3+c^3+d^3 (3)
Từ 1,2 và 3 suy ra :a^3+b^3+c^3/b^3+c^3+d^3=(a+b+c)^3/(b+c+d)^3
b, \(\frac{a+b}{a+b+c}>\frac{a+b}{a+b+c+d}\); \(\frac{b+c}{b+c+a}>\frac{b+c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c+d}{c+d+a}>\frac{c+d}{a+b+c+d};\frac{d+a}{a+d+b}>\frac{a+d}{a+b+c+d}\)
Cộng các bĐT trên
=> \(B>\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\)
Ta có Với \(0< \frac{x}{y}< 1\)
=> \(\frac{x}{y}< \frac{x+z}{y+z}\)
Áp dụng ta có
\(B>\frac{a+b+d}{a+b+c+d}+...+\frac{d+a+c}{a+b+c+d}=3\)
Vậy 2<B<3
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
\(\frac{b+c+d}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}=\frac{\left(a+b+c+d-x\right)+\left(x-a\right)}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}\)\(=\frac{\left(a+b+c+d-x\right)}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}+\frac{1}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)}\)
Áp dụng hoán vị vòng \(b\rightarrow c\rightarrow d\rightarrow a\rightarrow b\) vào VT , ta được :
\(\left(a+b+c+d-x\right)\)[\(\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)\left(a-x\right)}+\frac{1}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(b-d\right)\left(b-x\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(c-d\right)\left(c-x\right)}\)\(+\frac{1}{\left(d-a\right)\left(d-b\right)\left(d-c\right)\left(d-x\right)}\).
Quy đồng mẫu thức và tính toán biểu thức trong [ ] ta được :
\(\frac{-1}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)}\)
Vậy ...............
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}\Rightarrow\frac{a^3}{c^3}=\frac{b^3}{d^3}\)
áp dụng t.c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\Rightarrow\left(\frac{a^2}{c^2}\right)^3=\frac{\left(a^2+b^2\right)^3}{\left(a^2+d^2\right)^3}=\frac{a^6}{c^6}\left(1\right)\)
\(\frac{a^3}{c^3}=\frac{b^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}\Rightarrow\left(\frac{a^3}{c^3}\right)^2=\frac{\left(a^3+b^3\right)^2}{\left(a^3+d^3\right)^2}=\frac{a^6}{c^6}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{\left(a^2+b^2\right)^3}{\left(c^2+d^2\right)^3}=\frac{\left(a^3+b^3\right)^2}{\left(c^3+d^3\right)^2}\left(đpcm\right)\)
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a+b-c}{b+c-d}\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^3=\left(\frac{b}{c}\right)^3=\left(\frac{c}{d}\right)^3=\left(\frac{a+b-c}{b+c-d}\right)^3\)
Mà \(\left(\frac{a}{b}\right)^3=\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a}{d}\)
=>\(\left(\frac{a+b-c}{b+c-d}\right)^3=\frac{a}{d}\Rightarrow\frac{\left(a+b-c\right)^3}{\left(b+c-d\right)^3}=\frac{a}{d}\Rightarrow\frac{\left(a+b-c\right)^3}{a}=\frac{\left(b+c-d\right)^3}{d}\) (đpcm)