Tìm tất cả các số tự nhiên n scho
a)n^2+18n là số nguyên tố
b)5^n+10 là hợp số
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a.
Nếu $n=0$ thì $2^n+22=23$ là snt (thỏa mãn)
Nếu $n>0$ thì $2^n$ chẵn, $22$ chẵn
$\Rightarrow 2^n+22$ chẵn. Mà $2^n+22>2$ nên không thể là snt (trái đề bài)
Vậy $n=0$
b. $13n$ là snt khi $n<2$
Mà $n$ là snt nên $n=0,1$. Nếu $n=0$ thì $13n=0$ không là snt
Nếu $n=1$ thì $13n=13$ là snt (tm)
Ta có:\(P=n^3-n^2+7n+10\)
\(=n^3-2n^2+n^2-2n-5n+10\)
\(=n^2\left(n-2\right)+n\left(n-2\right)-5\left(n-2\right)\)
\(=\left(n-2\right)\left(n^2+n-5\right)\)
Vì P là số nguyên tố nên
\(n-2=1\Rightarrow n=3\)(nhận)
\(n^2+n-5=1\)\(\Rightarrow n^2+n-6=0\Rightarrow\left(n+3\right)\left(n-2\right)=0\Rightarrow n=-3\left(l\right);n=2\left(n\right)\)
Ta có:\(\hept{\begin{cases}n=3\Rightarrow P=7\left(n\right)\\n=2\Rightarrow P=0\left(l\right)\end{cases}}\)
Vậy n=3
\(P=n^3-n^2-7n+10=\left(n-2\right)\left(n^2+n-5\right)\)
- Với \(n-2< 0\Leftrightarrow n< 2\).
Bằng cách thử trực tiếp \(n=0,n=1\)thu được \(n=1\)thỏa mãn \(P=3\)là số nguyên tố.
- Với \(n-2\ge0\)thì \(n-2\ge0,n^2+n-5>0\)khi đó \(P\)có hai ước tự nhiên là \(n-2,n^2+n-5\).
Để \(P\)là số nguyên tố thì:
\(\orbr{\begin{cases}n-2=1\\n^2+n-5=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=3\\n=2,n=-3\end{cases}}\)
Thử lại các giá trị trên thu được \(n=3\)thì \(P=7\)thỏa mãn.
Vậy \(n=1\)hoặc \(n=3\).
TH1. Đề bài là: 5n + 10 \(\in\) P
Với n = 0 ⇒ 5n + 10 = 1 + 10 = 11 (thỏa mãn)
Với n ≥ 1 ⇒ 5n + 10 = \(\overline{..5}\)+ 10 = \(\overline{..5}\) ⋮ 5 (loại)
Vậy n = 0
TH2. Đề bài là: 5n +10 \(\in\) P
5n+10 \(\in\) P ⇔ n + 10 = 1
⇒ n = -9 (loại)
n \(\in\) \(\varnothing\)
Xét 2 trường hợp:
TH1: n = 0
5ⁿ + 10 = 5⁰ + 10 = 11 là số nguyên tố
TH2: n ≠ 0
Ta có:
5ⁿ ⋮ 5
10 ⋮ 5
⇒ (5ⁿ + 10) ⋮ 5
⇒ 5ⁿ + 10 là hợp số
Vậy n = 0 thì 5ⁿ + 10 là số nguyên tố
Nếu đề bài là:
5n+10 \(\in\) P
⇔ 5n+10 = 5
⇒ n + 10 = 1
⇒ n = -9 (loại)
n \(\in\) \(\varnothing\)
Nếu đề bài là:
5n + 10 \(\in\) P
với n = 0 ta có 5n + 10 = 11 (thỏa mãn)
Với n ≥ 1 ta có 5n + 10 = \(\overline{..5}\) + 10 = \(\overline{...5}\) (là hợp số loại)
Vậy n = 0
a) \(A=n^2+18n=n\left(n+18\right)\)
A là số nguyên tố khi: \(\orbr{\begin{cases}n=1\\n+18=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}n=1\\n=-17\end{cases}}\)
Do n là số tự nhiên nên \(n=1\)
thử lại: \(n=1\)thì \(A=19\)là số nguyên tố
b) \(B=5^n+10\)
Do n là số tự nhiên nên \(B\ge10\)
Nhận thấy: \(5^n\)\(⋮\)\(5\)và \(10\)\(⋮\)\(5\)
suy ra: \(B\)\(⋮\)\(5\)
Vậy với mọi n là số tự nhiên thì B là hợp số