1, Cho a,b,c >0 thoả mãn a+b+c=6. Tìm GTNN của biểu thức
\(P=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
16 tháng 10 2016
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)ta có:
\(P\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
Lại có:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}=9\)
Mặt khác \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{ab+bc+ca}\ge3\)\(\Rightarrow P_{Min}=30\)
Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
20 tháng 2 2019
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\Leftrightarrow b=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}=\frac{2ac}{a+c}\)
Thế \(b=\frac{2ac}{a+c}\) vào M, ta được:
\(M=\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}+\frac{c+\frac{2ac}{a+c}}{2c-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{1+\frac{2c}{a+c}}{2-\frac{2c}{a+c}}+\frac{1+\frac{2a}{a+c}}{2-\frac{2a}{a+c}}\)
\(M=\frac{\left(a+c\right)+2c}{2\left(a+c\right)-2c}+\frac{\left(a+c\right)+2a}{2\left(a+c\right)-2a}=\frac{a+3c}{2a}+\frac{3a+c}{2c}\)
\(M+2=\frac{a+3c}{2a}+1+\frac{3a+c}{2c}+1=\frac{3a+3c}{2a}+\frac{3a+3c}{2c}=\frac{3}{2}\left(a+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
\(M+2=\frac{3}{2}\left(1+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+1\right)=\frac{3}{2}\left(2+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
Xét \(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\Leftrightarrow...\)(bạn tự biến đổi tương đương để chứng minh nó nhé)
(ĐK xảy ra dấu "=": a=c)
Do đó \(M+2=\frac{3}{2}\left(1+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+1\right)=\frac{3}{2}\left(2+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(2+2\right)=6\Leftrightarrow M\ge4\)
Vậy GTNN của \(M=4\)khi \(a=c\Leftrightarrow\frac{2}{b}=\frac{2}{a}\Leftrightarrow b=a=c\)
Chúc bạn học tốt!
P/S: bài này khó thật đấy! Mình chuyên toán 9 mà giải hết nửa tiếng mới xong :D!
3 tháng 9 2017
Ta có :
\(\frac{a^2}{a+b}=\frac{a\left(a+b\right)-ab}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}\text{≥}a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)(1)
Tương tự : \(\hept{\begin{cases}\frac{b^2}{b+c}\text{≥}b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\left(2\right)\\\frac{c^2}{c+a}\text{≥}c-\frac{\sqrt{ac}}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng vế với vế của (1);(2)(;(3) lại ta được :
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\text{≥}a+b+c-\frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{bc}}{2}-\frac{\sqrt{ac}}{2}\)
\(\Leftrightarrow A\text{≥}\left(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ab}\right)+\left(\frac{\sqrt{ab}}{2}+\frac{\sqrt{bc}}{2}+\frac{\sqrt{ac}}{2}\right)\)
Lại lại có : \(a+b+c\text{≥}\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\) (tự chứng minh)
\(\Rightarrow a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ab}\text{≥}0\)
Nên \(A\text{≥}\frac{1}{2}\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)=\frac{1}{2}\)có GTNN là 1/2
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
30 tháng 5 2018
UCT. Chứng minh \(2a+\frac{1}{a}\ge\frac{a^2+5}{2}\) với \(0< a^2;b^2;c^2< \sqrt{3}\)
Tương tự cộng lại là xong
NA
29 tháng 5 2018
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(a+\frac{1}{a}\ge2\)và \(b+\frac{1}{b}\ge2\)và \(c+\frac{1}{c}\ge2\)
\(\Rightarrow P\ge a+b+c+6\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)( thỏa đề bài)
\(\Leftrightarrow minP=1+1+1+6=9\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2022
\(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b+c}}=\dfrac{2}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(4+\dfrac{1}{4}\right)\left(a^2+\dfrac{1}{b+c}\right)}\ge\dfrac{2}{\sqrt{17}}\left(2a+\dfrac{1}{2\sqrt{b+c}}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+4b+4c+\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{1}{\sqrt{c+a}}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+4b+4c+\dfrac{9}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}}\right)\)
Mặt khác:
\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{3\left(a+b+b+c+c+a\right)}=\sqrt{6\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+4b+4c+\dfrac{9}{\sqrt{6\left(a+b+c\right)}}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(\dfrac{31}{8}\left(a+b+c\right)+\dfrac{a+b+c}{8}+\dfrac{9}{2\sqrt{6\left(a+b+c\right)}}+\dfrac{9}{2\sqrt{6\left(a+b+c\right)}}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(\dfrac{31}{8}.6+3\sqrt[3]{\dfrac{81\left(a+b+c\right)}{32.6.\left(a+b+c\right)}}\right)=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
TN
6 tháng 1 2020
\(P=\text{∑}\frac{a\left(\frac{1}{a}+1+c\right)}{\left(a^3+b^2+c\right)\left(\frac{1}{a}+1+c\right)}\le\frac{\text{∑}\left(1+a+ac\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\le\frac{3+a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\le\frac{3+3+\frac{3^2}{3}}{3^2}=1\)
"=" khi a=b=c=1
TM
27 tháng 5 2017
Nhân cả 2 vế với a+b+c
Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b};\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)luôn đúng do a;b>0
dễ rồi nhé
TM
27 tháng 5 2017
b) \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
\(P=\left(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel (mình nói bđt như vậy,chỗ này bạn cứ nói theo cái bđt đề bài cho đi) ta được:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{4}\)
=>\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
=>Pmax=3/4 <=> x=y=z=1/3
26 tháng 8 2020
Bài toán số 41 có 2 cách làm, tôi làm cách thứ 2
Đặt \(Q=\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\)\(\Rightarrow Q^2=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+2\left(\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\right)\)ta thấy rằng \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+\frac{xyz}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có \(\sqrt{\frac{yx}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}\ge\frac{2yx}{2\sqrt{\left(xy+yz\right)\left(yz+yx\right)}}\ge\frac{2xy}{2xy+yz+xz}\ge\frac{2xy}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{xy}{xy+yz+zx}\)
Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\ge\frac{yz}{xy+yz+zx}\\\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge\frac{xz}{xy+yz+zx}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge1\)nên \(Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+2}\)
\(\Rightarrow Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Đặt \(t=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\Rightarrow t\ge\sqrt{xy+yz+zx}=2\)
Xét hàm số g(t)=\(\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}+\frac{4}{t}\left(t\ge2\right)\)khi đó ta có
\(g'\left(t\right)=\frac{t}{2\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}}-\frac{4}{t^2};g'\left(t\right)=0\Leftrightarrow t^6-32t^2-256=0\Leftrightarrow t=2\sqrt{2}\)
Lập bảng biến thiên ta có min[2;\(+\infty\)) \(g\left(t\right)=g\left(2\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}\)
Hay minS=\(3\sqrt{2}\)<=> a=c=1; b=2
26 tháng 8 2020
Đặt a=xc; b=cy (x;y >=1)
- Thay x=1 vào giả thiết ta có \(\sqrt{b-c}=\sqrt{b}\Rightarrow c=0\) (không thỏa mãn vì c>0)
- Thay y=1 vào giả thiết ta có \(\sqrt{a-c}=\sqrt{a}\Rightarrow c=0\)( không thỏa mãn vì c>0)
- Xét x,y>1 thay vào giả thiết ta có
\(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{xy}\Leftrightarrow x+y-2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=xy\)
\(\Leftrightarrow xy-x-y+1-2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=1\Leftrightarrow xy=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\ge4\)
Biểu thức P được viết lại như sau
\(P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\frac{xy}{3}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2y^2-2xy}=\frac{x^3y^3-2x^2y^2+3xy-3}{3\left(x^2y^2-2xy\right)}\)
Đặt t=xy với t>=4
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^3-2t^2+3t-3}{t^2-2t}\left(t\ge4\right)\)
Ta có \(f'\left(t\right)=\frac{t^4-4t^3+t^2+6t-6}{\left(t^2-2t\right)^2}=\frac{t^3\left(t-4\right)+6\left(t-4\right)+18}{\left(t^2-2t\right)^2}>0\forall t\ge4\)
Lập bảng biến thiên ta có \(minf\left(t\right)=f\left(4\right)=\frac{41}{8}\)
Vậy \(minP=\frac{41}{24}\)khi x=y=z=2 hay a=b=2c
\(P=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a+2b+2c}\)(cô si)
\(P\ge\frac{6^2}{2.6}=3\)dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}\)
vậy dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(< =>MIN:P=3\)
Hoàng Như Quỳnh đấy có phải cô si đâu ? Bunya phân thức mà ~~
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có : ... ( như bạn Hoàng Như Quỳnh )
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 2