Cho x,y,z>0 . Cm : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{16}{x+y+z}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 12 2018
\(VT=\dfrac{\left(\dfrac{1}{z}\right)^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}\right)^2}{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{y}\right)^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}{2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Dâu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
14 tháng 12 2018
\(\sum\dfrac{1}{x}\cdot\sum\dfrac{x}{y^2}\ge\sum^2\dfrac{1}{x}\)(bunhia)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 5 2018
Lời giải:
Ta có: \(xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
Mà theo BĐT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\)
Do đó: \(3\geq \frac{9}{x+y+z}\Rightarrow x+y+z\geq 3\)
-------
Ta có: \(\text{VT}=x-\frac{xz}{x^2+z}+y-\frac{xy}{y^2+x}+z-\frac{yz}{z^2+y}\)
\(=(x+y+z)-\left(\frac{xy}{y^2+x}+\frac{yz}{z^2+y}+\frac{xz}{x^2+z}\right)\)
\(\geq x+y+z-\frac{1}{2}\left(\frac{xy}{\sqrt{xy^2}}+\frac{yz}{\sqrt{z^2y}}+\frac{xz}{\sqrt{x^2z}}\right)\) (AM-GM)
\(=x+y+z-\frac{1}{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\)
Tiếp tục AM-GM: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \frac{x+1}{2}+\frac{y+1}{2}+\frac{z+1}{2}=\frac{x+y+z+3}{2}\)
Suy ra:
\(\text{VT}\geq x+y+z-\frac{1}{2}.\frac{x+y+z+3}{2}=\frac{3}{4}(x+y+z)-\frac{3}{4}\)
\(\geq \frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 8 2017
Lời giải:
Đặt \(\left ( \frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x} \right )=(a,b,c)\Rightarrow abc=1\)
Bài toán tương đương với: Cho \(a,b,c>0\) và \(abc=1\). CMR
\(a^2+b^2+c^2\geq a+b+c\)
Thật vậy.
Áp dụng BĐT AM-GM: \(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\sqrt[3]{1}=3(1)\)
Theo hệ quả của BĐT Am-Gm:
\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\)
Kết hợp với \((1)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq a+b+c\)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=z\)
5 tháng 2 2022
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2\ge3\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{xyz}\Rightarrow x+y+z\ge\dfrac{3}{xyz}\)
\(x+y+z=\dfrac{x+y+z}{3}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{3}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{xyz}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{9}{x+y+z}\right)+\dfrac{2}{xyz}=\dfrac{3}{x+y+z}+\dfrac{2}{xyz}\left(đpcm\right)\)
\(dấu"="xảy\) \(ra\Leftrightarrow x=y=z=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 3 2021
Lời giải:Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$\frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$
$\frac{1}{x+2y+z}\leq \frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$
$\frac{1}{x+y+2z}\leq \frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\right)$
Cộng theo vế và rút gọn thì:
$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\) ( sửa đề )
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow3+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\ge9\)
Ta sẽ CM BĐT trên đúng bằng sử dụng Cô - Si , ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}=2\\\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{y}{z}.\dfrac{z}{y}}=2\\\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{z}.\dfrac{z}{x}}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\ge6\)
\(\Leftrightarrow3+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\ge9\)
\(\Rightarrowđpcm.\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z\)
Sửa đề như Linh :3
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz, ta có:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{3^2}{x+y+z}=\dfrac{9}{x+y+z}\)